Exercice 4
5 points – Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Soit A l’ensemble des entiers naturels de l’intervalle [1 ; 46].
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On considère l’équation
(E) : $23x+47y=1$
où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
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Donner une solution particulière $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ de (E).
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Déterminer l’ensemble des couples $\left(x, y\right)$ solutions de (E).
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En déduire qu’il existe un unique entier $x$ appartenant à A tel que $23x\equiv 1 \ \left(47\right)$.
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Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs.
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Montrer que si $ab\equiv 0 \ \left(47\right)$ alors $a\equiv 0 \ \left(47\right)$ ou $b\equiv 0 \ \left(47\right)$.
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En déduire que si $a^{2}\equiv 1 \ \left(47\right)$ alors $a\equiv 1 \ \left(47\right)$ ou a $a\equiv – 1 \ \left(47\right)$.
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Montrer que pour tout entier $p$ de A, il existe un entier relatif $q$ tel que $p \times q\equiv 1 \ \left(47\right)$.
Pour la suite, on admet que pour tout entier $p$ de A, il existe un unique entier, noté $\operatorname{inv}\left(p\right)$, appartenant à A tel que
$p \times \operatorname{inv}\left(p\right)\equiv 1 \ \left(47\right)$.
Par exemple :
$\operatorname{inv}\left(1\right)=1$ car $1 \times 1\equiv 1 \ \left(47\right)$, $\operatorname{inv}\left(2\right)=24$ car $2 \times 24\equiv 1 \ \left(47\right)$, $\operatorname{inv}\left(3\right)=16$ car $3 \times 16\equiv 1 \ \left(47\right)$.
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Quels sont les entiers $p$ de A qui vérifient $p=\operatorname{inv}\left(p\right)$ ?
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Montrer que $46! \equiv – 1 \ \left(47\right)$.
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Corrigé
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Une solution peut être trouvée avec l’algorithme d’Euclide. Ici, elle est évidente:
$x_{0}= – 2\ ;\ y_{0}=1$
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$23x+47y=1 \Leftrightarrow 23x+47y=23\times \left( – 2\right)+47\times 1$
On obtient :
$23\left(x+2\right)=47\left(1 – y\right)$
23 et 47 sont premiers entre eux donc d’après le théorème de Gauss 47 divise $x+2$
En posant $x+2=47k\ ;\ k\in \mathbb{Z}$ on trouve que les solutions sont de la forme :
$\left( – 2+47k;1 – 23k\right)\ ;\ k\in \mathbb{Z}$
Réciproquement, vérifiez que ces couples sont bien solutions ! -
$23x\equiv 1 \ \left(47\right)$ si et seulement si il existe un entier relatif $y$ tel que:
$23x+47y=1$
On montre à partir du b. qu’il existe une unique solution pour laquelle $x$ est compris entre 1 et 46 (on peut partir de l’encadrement $1\leqslant x\leqslant 46$ pour trouver un encadrement de $k$)
Elle correspond à $k=1$ et donc $x=45$
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$ab\equiv 0\ \left(47\right)$ signifie que 47 divise ab.
On applique alors le théorème de Gauss et on arrive rapidement au résultat demandé.
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$a^{2}\equiv 1 \ \left(47\right) \Leftrightarrow \left(a – 1\right)\left(a+1\right)\equiv 0 \ \left(47\right)$
Il suffit alors d’appliquer les résultats de la question précédente
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Comme $1\leqslant p\leqslant 46$, $p$ et 47 sont premiers entre eux; on peut alors appliquer le théorème de Bézout qui mène directement au résultat recherché.
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$p=\operatorname{inv}\left(p\right) \Leftrightarrow p^{2}=1$
On applique le résultat de 2.b. et compte tenu du fait que $p\in A$ on trouve
$p=1$ ou $p=46$
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$46! = 1\times 2\times 3. . . \times 46$.
A l’exception de 1 et de 46, on peut regrouper les 44 facteurs restants en 22 paires d’entiers « inverses » l’un de l’autre dont le produit vaut 1.
On a donc:
$46! \equiv 1\times 46\equiv – 1\ \left(47\right)$
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