Probabilités Lancers successifs – Bac S Pondichéry 2009
Exercice 4
4 points - Commun à tous les candidats
On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Ces dés sont en apparence identiques mais l'un est bien équilibré et l'autre truqué. Avec le dé truqué la probabilité d'obtenir 6 lors d'un lancer est égale à $ \dfrac{1}{3} $.
Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de 6 obtenus.
- Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire X ?
- Quelle est son espérance ?
- Calculer $ P\left(X=2\right) $.
On choisit au hasard l'un des deux dés, les choix étant équiprobables. Et on lance le dé choisi trois fois de suite.
On considère les événements D et A suivants:
•ﾠﾠ D : « le dé choisi est le dé bien équilibré » ;
•ﾠﾠ A : « obtenir exactement deux 6 ».
- Calculer la probabilité des événements suivants :
•ﾠﾠ « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » ;
•ﾠﾠ « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 ».
(On pourra construire un arbre de probabilité). - En déduire que: $ p\left(A\right)=\dfrac{7}{48} $.
- Ayant choisi au hasard l'un des deux dés et l'ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilité d'avoir choisi le dé truqué ?
- Calculer la probabilité des événements suivants :
On choisit au hasard l'un des deux dés, les choix étant équiprobables, et on lance le dé $ n $ fois de suite ($ n $ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2).
On note $ B_{n} $ l'événement « obtenir au moins un 6 parmi ces $ n $ lancers successifs ».
- Déterminer, en fonction de $ n $, la probabilité $ p_{n} $ de l'événement $ B_{n} $.
- Calculer la limite de la suite $ \left(p_{n}\right) $. Commenter ce résultat.
Corrigé
- La variable aléatoire $ X $ suit une loi binômiale de paramètres $ n=3 $ et $ p=\dfrac{1}{6} $
- $ E\left(X\right)=np=3\times \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2} $
- $ P\left(X=2\right)=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\times \left(\dfrac{1}{6}\right)^{2}\times \dfrac{5}{6}=3\times \dfrac{5}{216}=\dfrac{5}{72} $.
L'évènement « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » est $ D \cap A $ :
$ p\left(D \cap A\right)=p\left(D\right)\times p_{D}\left(A\right) $
La probabilité $ p_{D}\left(A\right) $ est la probabilité d'obtenir exactement deux 6 sachant le dé choisi est le dé bien équilibré; c'est à dire $ p_{D}(A)=p(X=2)=\dfrac{5}{72} $ d'après la première question donc :
$ p\left(D \cap A\right)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{5}{72}=\dfrac{5}{144} $
L'évènement « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 » est $ \overline{D} \cap A $
$ p\left(\overline{D} \cap A\right)=p\left(\overline{D}\right)\times p_{\overline{D}}\left(A\right) $
La probabilité $ p_{\overline{D}}\left(A\right) $ correspond à « la probabilité d'obtenir exactement deux 6 sachant le dé choisi est le dé truqué » :
$ p_{\overline{D}}\left(A\right)=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{9} $
Donc :
$ p\left(\overline{D} \cap A\right)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{9}=\dfrac{1}{9} $
- D'après le théorème des probabilités totales :
$ p\left(A\right)=p\left(\overline{D} \cap A\right)+p\left(D \cap A\right)=\dfrac{1}{9}+\dfrac{5}{144}=\dfrac{16}{144}+\dfrac{5}{144}=\dfrac{21}{144}=\dfrac{7}{48} $ - Ayant choisi au hasard l'un des deux dés et l'ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilité d'avoir choisi le dé truqué est :
$ p_{A}\left(\overline{D}\right)=\dfrac{p\left(\overline{D} \cap A\right)}{p\left(A\right)}=\dfrac{\dfrac{1}{9}}{\dfrac{7}{48}}=\dfrac{1}{9}\times \dfrac{48}{7}=\dfrac{16}{21} $
- L'évènement $ \overline{B_{n}} $ contraire de $ B_{n} $ est l'événement « n'obtenir aucun 6 parmi ces $ n $ lancers successifs ».
$ p\left(\overline{B_{n}}\right)=p\left(\overline{B_{n}} \cap D\right)+p\left(\overline{B_{n}} \cap \overline{D}\right)=p_{D}\left(\overline{B_{n}}\right)\times p\left(D\right)+p_{\overline{D}}\left(\overline{B_{n}}\right)\times p\left(\overline{D}\right) $
$ p\left(\overline{B_{n}}\right)=\dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{5}{6}\right)^{n}+\dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} $
Donc
$ p_{n}=1 - p\left(\overline{B_{n}}\right)=1 - \dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{5}{6}\right)^{n} - \dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} $ - Comme $ \dfrac{5}{6} < 1 $ et $ \dfrac{2}{3} < 1 $:
$ \lim\limits_{n\rightarrow \infty } p_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }1 - \dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{5}{6}\right)^{n} - \dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}=1 $.
Si on lance le dé "un très grand nombre de fois", on est "pratiquement assuré" d'obtenir au moins un 6 quel que soit le dé choisi.
- L'évènement $ \overline{B_{n}} $ contraire de $ B_{n} $ est l'événement « n'obtenir aucun 6 parmi ces $ n $ lancers successifs ».