Logo maths-cours.fr
Logo maths-cours.fr
Connexion Inscription
edit_note Exercices 25 min
Non commencé

Volume d’une pyramide – Brevet Pondichéry 2013

Exercice 5   7 points

Une pyramide régulière de sommet S a pour base le carré ABCD telle que son volume V est égal à $ 108\text{cm}^{3} $.

Volume d'une pyramide

Sa hauteur [SH] mesure 9 cm.

Le volume d'une pyramide est donné par la relation :

$ \text{Volume de la pyramide}=\dfrac{\text{aire de la base }\times \text{hauteur}}{3}. $

  1. Vérifier que l'aire de ABCD est bien 36 cm$ ^{2} $.
    En déduire la valeur de AB.
    Montrer que le périmètre du triangle ABC est égal à $ 12+6\sqrt{2} $ cm.

  2. SMNOP est une réduction de la pyramide SABCD.
    On obtient alors la pyramide SMNOP telle que l'aire du carré MNOP soit égale à 4 cm$ ^{2} $

    1. Calculer le volume de la pyramide SMNOP.
    2. Pour cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation. Elise pense que pour obtenir le périmètre du triangle MNO, il suffit de diviser le périmètre du triangle ABC par 3.
      Êtes-vous d'accord avec elle ?

Corrigé

  1. On sait que le volume $ V $ d'une pyramide est donné par la formule :

    $ V = \dfrac{\text{Aire de la base} \times \text{hauteur}}{3} $

    Ici, $ V = 108\text{ cm}^3 $ et la hauteur $ SH = 9\text{ cm} $.
    En remplaçant les valeurs dans la formule, on a :
    $ 108 = \dfrac{\text{Aire de ABCD} \times 9}{3} $
    $ 108 = \text{Aire de ABCD} \times 3 $

    On en déduit l'aire de la base ABCD :
    $ \text{Aire de ABCD} = \dfrac{108}{3} = 36\text{ cm}^2 $
    L'aire de ABCD est donc bien de $ 36\text{ cm}^2 $.

    Puisque ABCD est un carré, son aire est égale à $ AB^2 $.
    $ AB^2 = 36 $
    $ AB = \sqrt{36} = 6\text{ cm} $
    La longueur du segment [AB] est donc de $ 6\text{ cm} $.

    Calculons maintenant le périmètre du triangle ABC.
    Le triangle ABC est rectangle en B (car ABCD est un carré).
    D'après le théorème de Pythagore dans le triangle ABC :
    $ AC^2 = AB^2 + BC^2 $
    $ AC^2 = 6^2 + 6^2 $
    $ AC^2 = 36 + 36 = 72 $
    $ AC = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}\text{ cm} $

    Le périmètre du triangle ABC est :
    $ P_{ABC} = AB + BC + AC $
    $ P_{ABC} = 6 + 6 + 6\sqrt{2} $
    $ P_{ABC} = 12 + 6\sqrt{2}\text{ cm} $

  2. SMNOP est une réduction de la pyramide SABCD.

    1. Soit $ k $ le rapport de réduction. Les aires sont multipliées par $ k^2 $.
      $ \text{Aire de MNOP} = k^2 \times \text{Aire de ABCD} $
      $ 4 = k^2 \times 36 $
      $ k^2 = \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9} $
      Le rapport de réduction est donc $ k = \sqrt{\dfrac{1}{9}} = \dfrac{1}{3} $.

      Dans une réduction de rapport $ k $, les volumes sont multipliés par $ k^3 $.
      $ V_{SMNOP} = k^3 \times V_{SABCD} $
      $ V_{SMNOP} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 \times 108 $
      $ V_{SMNOP} = \dfrac{1}{27} \times 108 = \dfrac{108}{27} = 4\text{ cm}^3 $
      Le volume de la pyramide SMNOP est de $ 4\text{ cm}^3 $.

    2. Dans une réduction de rapport $ k $, les longueurs sont multipliées par $ k $.
      Les périmètres étant des sommes de longueurs, ils sont également multipliés par $ k $.

      Ici, le rapport de réduction est $ k = \dfrac{1}{3} $.
      Le périmètre du triangle MNO est donc égal au périmètre du triangle ABC multiplié par $ \dfrac{1}{3} $, ce qui revient à diviser le périmètre de ABC par 3.

      On est donc d'accord avec l'affirmation d'Elise :
      $ P_{MNO} = \dfrac{1}{3} \times P_{ABC} $