Th. de Thalès (Brevet 2013)
(D'après Brevet Centres étrangers 2013)
Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
On considère la figure ci-dessous, qui n'est pas en vraie grandeur.
$ BCDE $ est un carré de $ 6 $ cm de côté.
Les points $ A $, $ B $ et $ C $ sont alignés et $ AB=3 $cm.
$ F $ est un point du segment $ \left[CD\right] $.
La droite $ \left(AF\right) $ coupe le segment $ \left[BE\right] $ en $ M $.
Déterminer la longueur $ CF $ pour que les longueurs $ BM $ et $ FD $ soient égales.
Corrigé
Notons $ x=CF $.
Comme les points $ C, F $ et $ D $ sont alignés :
$ FD=CD-CF=6-x \qquad $(1)
Comme $ BCDE $ est un carré, les droites $ \left(BE\right) $ et $ \left(CD\right) $ sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès :
$ \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AM}{AF}=\dfrac{BM}{CF} $
$ \dfrac{3}{9}=\dfrac{AM}{AF}=\dfrac{BM}{x} $
De l'égalité $ \dfrac{3}{9}=\dfrac{BM}{x} $, on déduit :
$ BM=\dfrac{3x}{9}=\dfrac{x}{3} \qquad $(2)
En utilisant les égalités (1) et (2), on peut dire que les longueurs $ FD $ et $ BM $ sont donc égales lorsque :
$ 6-x=\dfrac{x}{3} $
$ 6=\dfrac{x}{3}+x $
$ 6=\dfrac{4}{3}x $
$ \dfrac{4}{3}x=6 $
$ x=6\times \dfrac{3}{4} $
$ x=4,5 $
Les longueurs $ BM $ et $ FD $ sont donc égales lorsque $ CF $ vaut $ 4,5 $cm.