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edit_note Exercices 20 min
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Nombres complexes – Bac S Pondichéry 2013

Exercice 3   (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $ \left(O; \vec{u}, \vec{v}\right) $.

On note $ i $ le nombre complexe tel que $ i^{2} = - 1 $.

On considère le point $ A $ d'affixe $ z_{\text{A}}=1 $ et le point $ B $ d'affixe $ z_{\text{B}}=i $.

A tout point $ M $ d'affixe $ z_{M}=x+iy $, avec $ x $ et $ y $ deux réels tels que $ y \neq 0 $, on associe le point $ M^{\prime} $ d'affixe $ z_{M^{\prime}} = - i z_{M} $.

On désigne par $ I $ le milieu du segment $ \left[AM\right] $.

Le but de l'exercice est de montrer que pour tout point $ M $ n'appartenant pas à $ \left(OA\right) $, la médiane $ \left(OI\right) $ du triangle $ OAM $ est aussi une hauteur du triangle $ OBM^{\prime} $ (propriété 1) et que $ BM^{\prime}=2OI $ (propriété 2).

  1. Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend $ z_{M}=2e^{ - i\frac{\pi}{3}} $.

    1. Déterminer la forme algébrique de $ z_{M} $.

    2. Montrer que $ z_{M^{\prime}} = - \sqrt{3} - i $.

      Déterminer le module et un argument de $ z_{M^{\prime}} $.

    3. Placer les points $ A, B, M, M^{\prime} $ et $ I $ dans le repère $ \left(O; \vec{u}, \vec{v}\right) $ en prenant 2 cm pour unité graphique.

      Tracer la droite $ \left(OI\right) $ et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à l'aide du graphique.

  2. On revient au cas général en prenant $ z_{M}=x+iy $ avec $ y \neq 0 $.

    1. Déterminer l'affixe du point $ I $ en fonction de $ x $ et $ y $.
    2. Déterminer l'affixe du point $ M^{\prime} $ en fonction de $ x $ et $ y $.
    3. Écrire les coordonnées des points $ I, B $ et $ M^{\prime} $.
    4. Montrer que la droite $ \left(OI\right) $ est une hauteur du triangle $ OBM^{\prime} $.
    5. Montrer que $ BM^{\prime}=2OI $.

Corrigé

    1. $ z_{M}=2\left(\cos\left( - \dfrac{\pi }{3}\right)+i\sin\left( - \dfrac{\pi }{3}\right)\right)=2\left(\dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=1 - i\sqrt{3} $

    2. $ z_{M^{\prime}}= - iz_{M}= - i\left(1 - i\sqrt{3}\right)= - \sqrt{3} - i $

      $ |z_{M^{\prime}}|=| - iz_{M}|=| - i|\times |z_{M}|=1\times 2=2 $

      $ \text{arg}\left(z_{M^{\prime}}\right)=\text{arg}\left( - iz_{M}\right) =\text{arg}\left( - i\right)+\text{arg}\left(z_{M}\right)=\dfrac{3\pi }{2} - \dfrac{\pi }{3} =\dfrac{7\pi }{6} \left(\text{mod. } 2\pi \right) $

    3. Bac S Pondichéry 2013
    1. $ z_{I}=\dfrac{z_{A}+z_{M}}{2}=\dfrac{1+x}{2}+i \dfrac{y}{2} $
    2. $ z_{M^{\prime}}= - iz_{M}= - i\left(x+iy\right)=y - ix $

    3. $ I\left(\dfrac{1+x}{2} ; \dfrac{y}{2}\right) $

      $ B\left(0;1\right) $

      $ M^{\prime}\left(y ; - x\right) $

    4. $ \overrightarrow{OI}\left(\dfrac{1+x}{2} ; \dfrac{y}{2}\right) $ et $ \overrightarrow{BM^{\prime}}\left(y ; - x - 1\right) $ donc

      $ \overrightarrow{OI}.\overrightarrow{BM^{\prime}}=y\times \dfrac{1+x}{2}+\left( - x - 1\right)\times \dfrac{y}{2}=0 $

      Les vecteurs $ \overrightarrow{OI} $ et $ \overrightarrow{BM^{\prime}} $ sont orthogonaux donc la droite $ \left(OI\right) $ est une hauteur du triangle $ OBM^{\prime} $.

    5. $ BM^{\prime}= \sqrt{y^{2}+\left( - 1 - x\right)^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}+2x+1} $

      $ OI^{2}=\left(\dfrac{1+x}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{y}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}\left(x^{2}+y^{2}+2x+1\right) $

      donc

      $ OI=\dfrac{1}{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}+2x+1}=\dfrac{1}{2}BM^{\prime} $.

      Donc : $ BM^{\prime}=2OI $.