Exercice 3 (5 points)
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé $\left(O; \vec{u}, \vec{v}\right)$.
Pour tout entier naturel $n$, on note $A_{n}$ le point d’affixe $z_{n}$ défini par :
$z_{0}=1$ et $z_{n+1}=\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)z_{n}$
On définit la suite $\left(r_{n}\right)$ par $r_{n}=|z_{n}|$ pour tout entier naturel $n$.
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Donner la forme exponentielle du nombre complexe $\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i$.
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Montrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
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En déduire l’expression de $r_{n}$ en fonction de $n$.
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Que dire de la longueur $OA_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ?
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On considère l’algorithme suivant :
Variables $n$ entier naturel $R$ réel $P$ réel strictement positif Entrée Demander la valeur de $P$ Traitement $R$ prend la valeur $1$ $n$ prend la valeur $0$ Tant que $R > P$ $\quad$$\quad$$n$ prend la valeur $n+1$ $\quad$$\quad$$R$ prend la valeur $\dfrac{\sqrt{3}}{2}R$ Fin tant que Sortie Afficher $n$ -
Quelle est la valeur affichée par l’algorithme pour $P=0,5$ ?
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Pour $P=0,01$ on obtient $n=33$. Quel est le rôle de cet algorithme ?
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Démontrer que le triangle $OA_{n}A_{n+1}$ est rectangle en $A_{n+1}$.
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On admet que $z_{n}=r_{n}e^{i\dfrac{n\pi }{6}}$.
Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $A_{n}$ est un point de l’axe des ordonnées.
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Compléter la figure ci-dessous, à rendre avec la copie, en représentant les points $A_{6}, A_{7}, A_{8}$ et $A_{9}$.
Les traits de construction seront apparents.
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Corrigé
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Soit $r$ le module de $\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i$ :
$r^2=\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)^2=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}$
Donc :
$r=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)$
Si $\theta$ est un argument de $\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i$ :
$\cos \theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin \theta = \dfrac{1}{2}$ donc $\theta = \dfrac{\pi }{6} + 2k\pi$.
La forme exponentielle du nombre complexe $\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i$ est donc $\dfrac{\sqrt{3}}{2}e^{i\dfrac{\pi }{6}}$
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$z_{n+1}=\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)z_{n}$ donc :
$|z_{n+1}|=\left|\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right|\times \left|z_{n}\right|$
$r_{n+1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}r_{n}$
La suite $\left(r_{n}\right)$ est donc une suite géométrique de raison $q=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et de premier terme $r_{0}=|z_{0}|=1$.
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$r_{n}=r_{0}\times q^{n}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n}$
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$OA_{n}=r_{n}$.
$\left(r_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Comme $0 < q < 1$ la suite $\left(r_{n}\right)$ converge vers 0 lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ .
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Voici les valeurs prises par les variables lors de l’exécution pas à pas de l’algorithme pour $P=0,5$:
$n$ $R$ $P$ condition $R > P$ 0 1 0,5 Vraie 1 0,866 0,5 Vraie 2 0,75 0,5 Vraie 3 0,6495 0,5 Vraie 4 0,5625 0,5 Vraie 5 0,487 0,5 Fausse A la fin, l’algorithme affiche la valeur $5$.
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Cet algorithme affiche la plus petite valeur de $n$ telle que $OA_{n} \leqslant P$.
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$OA_{n}=r_{n} , OA_{n+1}=r_{n+1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}r_{n}$ et :
$A_{n}A_{n+1}= | z_{n+1} – z_{n} | = \left| \left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)z_{n} – z_{n} \right| = \left| \left( – \dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right) z_{n} \right|$
$A_{n}A_{n+1}= \left| \left( – \dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right) \right| \times r_{n}$
Or :
$\left| \left( – \dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right) \right| ^{2} = \dfrac{1}{16}+\dfrac{3}{16}=\dfrac{1}{4}$
donc $\left| \left( – \dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right) \right| = \dfrac{1}{2}$ et $A_{n}A_{n+1}=\dfrac{1}{2}r_{n}$
Finalement :
$OA_{n+1}^{2} + A_{n}A_{n+1}^{2} = \dfrac{3}{4}r_{n}^{2}+\dfrac{1}{4}r_{n}^{2} = r_{n}^{2} = OA_{n}^{2}$
Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $OA_{n}A_{n+1}$ est rectangle en $A_{n+1}$.
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$z_{n}=r_{n} \left(\cos\dfrac{n\pi }{6}+i \sin\dfrac{n\pi }{6}\right)$
Le point $A_{n}$ appartient à l’axe des ordonnées si et seulement si $\cos\dfrac{n\pi }{6} = 0$, c’est à dire $\dfrac{n\pi }{6}=\dfrac{\pi }{2}+2k\pi$ ou $n\dfrac{\pi }{6}=\left(3\dfrac{\pi }{2}\right)+2k\pi$ ou encore $\dfrac{n\pi }{6}=\dfrac{\pi }{2} + k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$
Or :
$\dfrac{n\pi }{6}=\dfrac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow \left(n\pi \right)=3\pi + 6k\pi \Leftrightarrow n= 3 + 6k$ (avec $k \in \mathbb{Z}$)
Comme $n\geqslant 0$, $k$ doit être positif ou nul (donc appartenir à $\mathbb{N}$).
Les valeurs de $n$ pour lesquelles $A_{n}$ est un point de l’axe des ordonnées sont donc
$n= 3 + 6k$ avec $k \in \mathbb{N}$ (soit $n = 3, 9, 15, 21,$ etc.).
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Pour la construction (à l’équerre ou au compas) on utilise le fait que les triangles $OA_{n}A_{n+1}$ sont rectangles en $A_{n+1}$.
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