Nombres complexes – Forme algébrique (6 exercices)

Exercice 1

1. $ \begin{aligned}A&=\left(1+i\right)^{2}\\ &=1+2i+i^{2}\\&=1+2i - 1\\&=2i\end{aligned} $

2. On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur :

   $ \begin{aligned}B&=\dfrac{1+i}{1 - i}\\ \\&=\dfrac{\left(1+i\right)^{2}}{\left(1 - i\right)\left(1+i\right)}\\ \\&=\dfrac{1+2i+i^2}{1 - i^{2}}\\ \\&=\dfrac{2i}{1+1}\\ \\&=i\end{aligned} $

3. $ \begin{aligned}C&=\dfrac{1}{1+i} - \dfrac{1}{1 - i} \\ \\&=\dfrac{1 - i}{\left(1 - i\right)\left(1+i\right)} - \dfrac{1+i}{\left(1 - i\right)\left(1+i\right)} \\ \\& =\dfrac{1 - i}{1+1} - \dfrac{1+i}{1+1}\\ \\& =\dfrac{ - 2i}{2}\\ \\&= - i\end{aligned} $

Exercice 2

$ \begin{aligned}z_{1} &=uv=\left( 3+i\right) \left( 1 - 2i\right) \\ &=3 - 6i+i - 2i^{2}\\ &=3 - 5i+2\\ &=5 - 5i\end{aligned} $

Pour $ z_2 $, on développe en utilisant les identités remarquables :
$ \begin{aligned}z_{2}&=u^{2} - v^{2}=\left( 3+i\right) ^{2} - \left( 1 - 2i\right) ^{2}\\ &=9+6i+i^{2} - \left( 1 - 4i+4i^{2}\right) \\ &=9+6i - 1 - \left( 1 - 4i - 4\right) \\ &=8+6i - \left( - 3 - 4i\right) \\ &=8+6i+3+4i\\ &=11+10i\\ \end{aligned} $
Pour $ z_3 $, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur :

$ \begin{aligned}z_{3}&=\dfrac{3+i}{1 - 2i}\\ \\ &=\dfrac{\left( 3+i\right) \left( 1+2i\right) }{\left( 1 - 2i\right) \left( 1+2i\right) }\\ \\ &=\dfrac{3+i+6i+2i^{2}}{1 - 4i^{2}} \\ \\ &=\dfrac{1+7i}{1+4}\\ \\ &=\dfrac{1}{5}+\dfrac{7}{5}i\end{aligned} $

Exercice 3

1. On développe à l'aide d'identité remarquable puis on regroupe partie réelle et partie imaginaire :
   $ \begin{aligned}z^{2}&=\left( x+iy\right) ^{2}=x^{2}+2xyi+\left( iy\right) ^{2}\\ &=x^{2}+2xyi - y^{2}\\ &=x^{2} - y^{2}+2xyi\end{aligned} $
2. Le nombre $ z^2 $ est un nombre réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, c'est à dire, d'après la question précédente si et seulement si $ 2xy=0 $.
   Ce produit s'annule uniquement pour $ x=0 $ ou $ y=0 $.
   Remarque : Si $ y=0 $, $ z $ est réel et si $ x=0 $, $ z $ est un imaginaire pur.
   Donc $ z^2 $ est un réel si et seulement si $ z $ est un réel ou un imaginaire pur.

3. $ z^2 $ est un imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle.
   D'après la question 1., cela se produit si et seulement si :

   $ \begin{aligned}x^{2} - y^{2}=0&\Leftrightarrow x^{2}=y^{2}\\ &\Leftrightarrow x=y \texttt{ ou } x= - y\end{aligned} $

Exercice 4

1. $ \begin{aligned}j^2 &= \left( - \dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) ^{2} \\ \\ &=\left( - \dfrac{1}{2}\right) ^{2} - 2\times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}\times i+\left( i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) ^{2}\\ \\ &=\dfrac{1}{4} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} i+\dfrac{3}{4}i^{2}\\ \\ &=\dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{4} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\\ \\ &= - \dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned} $

   $ \begin{aligned}j^{3}&=j\times j^{2}\\ \\ &=\left( - \dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \left( - \dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \end{aligned} $

   On développe grâce à l'identité remarquable :
   $ \begin{aligned} j^{3}&=\left( - \dfrac{1}{2}\right) ^{2} - \left( i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) ^{2}\\ \\ &=\dfrac{1}{4} - \left( - \dfrac{3}{4}\right) \\ \\ &=1\end{aligned} $

2. En utilisant les propriétés des puissances, on obtient, pour tout entier naturel $ n $ :

   $ j^{3n}=\left( j^{3}\right) ^{n}=1^{n}=1 $
   $ j^{3n+1}=j^{3n}\times j=1\times j= - \dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2} $
   $ j^{3n+2}=j^{3n}\times j^2=1\times j^2= - \dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2} $

Exercice 5

L'équation : $ (1+i)z + i = 2iz + 1 $ équivaut à  :

$ \begin{aligned} \left( 1+i\right) z - 2iz&=1 - i\\ \left( 1+i - 2i\right) z&=1 - i\\ \left( 1 - i\right) z&=1 - i\\ z&=\dfrac{1 - i}{1 - i}\\ z&=1\end{aligned} $

Exercice 6

1. $ P\left( i\right) =i^{2}+i\times i+2= - 1 - 1+2=0 $

2. On développe $ (z - i)(z - z_0) $  :
   $ \begin{aligned}\left( z - i\right) \left( z - z_{0}\right) &=z^{2} - z_{0}z - iz+iz_{0}\\ &=z^{2}+\left( - z_{0} - i\right) z+iz_{0}\\ \end{aligned} $
   Par identification des coefficients, ce polynôme est égal à $ P(z) $ si et seulement si :
   $ \begin{aligned} \begin{cases}1=1 \\ - z_{0} - i=i\\ iz_{0}=2\end{cases} \end{aligned} $

   $ \begin{aligned}\Leftrightarrow \begin{cases} - z_{0}=2i\\ z_{0}=\dfrac{2}{i}\end{cases}\\ \end{aligned} $
   $ \begin{aligned}\Leftrightarrow \begin{cases}z_{0}= - 2i\\ z_{0}=\dfrac{2i}{i^{2}}\end{cases}\\ \end{aligned} $
   $ \Leftrightarrow z_{0}= - 2i $

   Le polynôme $ P $ peut alors s'écrire :

   $ P(z) = (z - i)(z+2i) $

3. L'équation $ P(z)=0 $ est une équation « produit nul » :
   $ \left( z - i\right) \left( z+2i\right) =0\Leftrightarrow z=i \texttt{ ou } z= - 2i $

   L'équation $ P(z)=0 $ admet deux solutions : $ i $ et $ - 2i $.