[Bac] Lecture graphique – Dérivée – Exponentielle
Extrait d'un exercice du Bac S Pondichéry 2013.
Le sujet complet (qui nécessite l'étude des chapitres Logarithme népérien et Primitives/intégrales) est disponible ici : Bac S Pondichéry 2013
Partie 1
On s'intéresse à l'évolution de la hauteur d'un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique ci-dessous représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours.
On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type :
où $ a $ et $ b $ sont des constantes réelles positives, $ t $ est la variable temps exprimée en jours et $ h\left(t\right) $ désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres.
On sait qu'initialement, pour $ t=0 $, le plant mesure 0,1 m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de 2 m.
Déterminer les constantes $ a $ et $ b $ afin que la fonction $ h $ corresponde à la croissance du plant de maïs étudié.
Partie 2
On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction $ f $ définie sur $ \left[0 ; 250\right] $ par
- Déterminer $ f^{\prime}\left(t\right) $ en fonction de $ t $ ($ f^{\prime} $ désignant la fonction dérivée de la fonction $ f $).
En déduire les variations de la fonction $ f $ sur l'intervalle $ \left[0 ; 250\right] $. - On s'intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs ; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonction $ f $.
La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de $ t $.
En utilisant le graphique, déterminer une valeur approchée de celle-ci. Estimer alors la hauteur du plant.
Corrigé
Partie 1
D'après l'énoncé, la hauteur tend vers une hauteur limite de 2 m donc :
$ \lim\limits_{t\rightarrow +\infty }h\left(t\right)=2 $
Or $ \lim\limits_{t\rightarrow +\infty }\dfrac{a}{1+be^{ - 0.04t}}=a $ (puisque $ \lim\limits_{t\rightarrow +\infty }e^{ - 0.04t}=0 $)
Donc $ a=2 $.
Par ailleurs, pour $ t=0 $, le plant mesure 0,1 m donc $ h\left(0\right)=0,1 $, c'est à dire:
$ \dfrac{a}{1+b}=0,1 $
$ 0,1b=a - 0,1 $
$ 0,1b=1,9 $
$ b=19 $
On a donc :
$ f\left(t\right)=\dfrac{2}{1+19e^{ - 0,04t}} $
Partie 2
- La dérivée de $ \dfrac{1}{u} $ est $ - \dfrac{u^{\prime}}{u^{2}} $ donc :
$ f^{\prime}\left(t\right)= - \dfrac{2\times 19\times \left( - 0,04e^{ - 0,04t}\right)}{\left(1+19e^{ - 0,04t}\right)^{2}}=\dfrac{1,52e^{ - 0,04t}}{\left(1+19e^{ - 0,04t}\right)^{2}} $
Le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs sur $ \left[0 ; 250\right] $ donc $ f $ est strictement croissante sur $ \left[0 ; 250\right] $ - La vitesse de croissance est maximale lorsque la pente de la tangente à la courbe est maximale. Sur le graphique, on voit que ceci est obtenu pour $ t $ proche de 70 jours. La hauteur du plant est alors d'environ 1m.