Prérequis :
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La fonction exponentielle (notée $\exp$) vérifie :
♦ $\exp^{\prime}=\exp$
♦ $\exp\left(0\right)=1$
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On admettra également la propriété suivante (cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires) :
Si $f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $\left[a ; b\right]$ et si $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$ sont de signes contraires, alors il existe $\alpha \in \left[a ; b\right]$ tel que $f\left(\alpha \right)=0$.
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On rappelle enfin le résultat suivant :
Si $f$ est une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$, alors la fonction $x\mapsto f\left(ax+b\right)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est la fonction $x\mapsto af^{\prime}\left(ax+b\right)$
Partie A
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f\left(x\right)=\exp\left(x\right)\times \exp\left( – x\right)$.
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Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R} : f^{\prime}\left(x\right)=0$.
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En déduire que pour réel $x$, $f\left(x\right)=1$.
Montrez que pour tout réel $x$, $\exp\left(x\right)\neq 0$
Partie B
Soit $g$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $g^{\prime}=g$ et $g\left(0\right)=1$.
On pose $h\left(x\right)=\dfrac{g\left(x\right)}{\exp\left(x\right)}$
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Calculer $h^{\prime}\left(x\right)$.
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En déduire que pour réel $x$, $h\left(x\right)=1$.
Que peut-on en déduire pour la fonction $g$ ?
Partie C
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Montrer que, pour tout réel $x$, $\exp\left(x\right) > 0$ (on raisonnera par l’absurde et on utilisera le prérequis b.)
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En déduire que la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Corrigé
Partie A
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On pose $u\left(x\right)=\exp\left(x\right)$ et $v\left(x\right)=\exp\left( – x\right)$.
On a alors $u^{\prime}\left(x\right)=\exp\left(x\right)$ et $v^{\prime}\left(x\right)= – \exp\left( – x\right)$ (d’après les prérequis a. et c..
Par conséquent :
$f^{\prime}\left(x\right)=u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)=\exp\left(x\right)\exp\left( – x\right)+\exp\left(x\right)\times – \exp\left( – x\right)=0$
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On en déduit que $f$ est constante sur $\mathbb{R}$.
Comme $f\left(0\right)=\exp\left(0\right)\times \exp\left( – 0\right)=1$ (d’après le prérequis a.), $f\left(x\right)=1$ pour tout réel $x$.
On raisonne ensuite par l’absurde.
S’il existait un réel $x_{0}$ pour lequel $\exp\left(x_{0}\right)=0$ on aurait $f\left(x_{0}\right)=\exp\left(x_{0}\right)\exp\left( – x_{0}\right)=0\times \exp\left( – x_{0}\right)=0$
ce qui contredit le résultat précédent.
Donc, pour tout réel $x$, $\exp\left(x\right)\neq 0$
Partie B
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$h^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{g^{\prime}\left(x\right)\exp\left(x\right) – g\left(x\right)\exp\left(x\right)}{\left(\exp\left(x\right)\right)^{2}}=\dfrac{g\left(x\right)\exp\left(x\right) – g\left(x\right)\exp\left(x\right)}{\left(\exp\left(x\right)\right)^{2}}=0$
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Donc $h$ est constante sur $\mathbb{R}$ et comme $h\left(0\right)=\dfrac{g\left(0\right)}{\exp\left(0\right)}=\dfrac{1}{1}=1$, $h\left(x\right)=1$ pour réel $x$.
On en déduit que, pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $\dfrac{g\left(x\right)}{\exp\left(x\right)}=1$ c’est à dire $g(x)=\exp(x)$ .
$g$ est donc la fonction exponentielle.
La fonction exponentielle est donc la seule fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ vérifiant :
♦ $\exp^{\prime}=\exp$
♦ $\exp\left(0\right)=1$
Partie C
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On raisonne là encore par l’absurde.
S’il existait un réel $x_{0}$ pour lequel $\exp\left(x_{0}\right) < 0$, comme $\exp\left(0\right)=1 > 0$ d’après le prérequis b. (ou le théorème des valeurs intermédiaires), il existerait un réel $\alpha$ compris entre $x_{0}$ et $0$ tel que $\exp\left(\alpha \right)=0$.
Or ceci contredit le résultat de la question A. 2.
Donc la fonction exponentielle n’est jamais strictement négative sur $\mathbb{R}$. Comme elle n’est jamais nulle non plus (toujours d’après A. 2.), pour tout réel $x$, $\exp\left(x\right) > 0$ -
Comme $\exp^{\prime}=\exp$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.