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edit_note Exercices 35 min
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[ROC] Propriétés fondamentales de la fonction exponentielle

Prérequis :

  1. La fonction exponentielle (notée $ \text{exp} $) vérifie :

    ♦  $ \text{exp}^{\prime}=\text{exp} $

    ♦  $ \text{exp}\left(0\right)=1 $
  2. On admettra également la propriété suivante (cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires) :

    Si $ f $ est une fonction dérivable sur un intervalle $ \left[a ; b\right] $ et si $ f\left(a\right) $ et $ f\left(b\right) $ sont de signes contraires, alors il existe $ \alpha \in \left[a ; b\right] $ tel que $ f\left(\alpha \right)=0 $.
  3. On rappelle enfin le résultat suivant : Si $ f $ est une fonction dérivable sur $ \mathbb{R} $, alors la fonction $ x\mapsto f\left(ax+b\right) $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ et sa dérivée est la fonction $ x\mapsto af^{\prime}\left(ax+b\right) $

Partie A

Soit la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f\left(x\right)=\text{exp}\left(x\right)\times \text{exp}\left( - x\right) $.

  1. Montrer que pour tout $ x \in \mathbb{R} : f^{\prime}\left(x\right)=0 $.
  2. En déduire que pour réel $ x $, $ f\left(x\right)=1 $.

    Montrez que pour tout réel $ x $, $ \text{exp}\left(x\right)\neq 0 $

Partie B

Soit $ g $ une fonction dérivable sur $ \mathbb{R} $ telle que $ g^{\prime}=g $ et $ g\left(0\right)=1 $.

On pose $ h\left(x\right)=\dfrac{g\left(x\right)}{\text{exp}\left(x\right)} $

  1. Calculer $ h^{\prime}\left(x\right) $.
  2. En déduire que pour réel $ x $, $ h\left(x\right)=1 $.

    Que peut-on en déduire pour la fonction $ g $ ?

Partie C

  1. Montrer que, pour tout réel $ x $, $ \text{exp}\left(x\right) > 0 $ (on raisonnera par l'absurde et on utilisera le prérequis b.)
  2. En déduire que la fonction exponentielle est strictement croissante sur $ \mathbb{R} $.

Corrigé

Partie A

  1. On pose $ u\left(x\right)=\text{exp}\left(x\right) $ et $ v\left(x\right)=\text{exp}\left( - x\right) $.

    On a alors $ u^{\prime}\left(x\right)=\text{exp}\left(x\right) $ et $ v^{\prime}\left(x\right)= - \text{exp}\left( - x\right) $ (d'après les prérequis a. et c..

    Par conséquent :

    $ f^{\prime}\left(x\right)=u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)=\text{exp}\left(x\right)\text{exp}\left( - x\right)+\text{exp}\left(x\right)\times - \text{exp}\left( - x\right)=0 $
  2. On en déduit que $ f $ est constante sur $ \mathbb{R} $.

    Comme $ f\left(0\right)=\text{exp}\left(0\right)\times \text{exp}\left( - 0\right)=1 $ (d'après le prérequis a.), $ f\left(x\right)=1 $ pour tout réel $ x $.

    On raisonne ensuite par l'absurde.

    S'il existait un réel $ x_{0} $ pour lequel $ \text{exp}\left(x_{0}\right)=0 $ on aurait $ f\left(x_{0}\right)=\text{exp}\left(x_{0}\right)\text{exp}\left( - x_{0}\right)=0\times \text{exp}\left( - x_{0}\right)=0 $

    ce qui contredit le résultat précédent.

    Donc, pour tout réel $ x $, $ \text{exp}\left(x\right)\neq 0 $

Partie B

  1. $ h^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{g^{\prime}\left(x\right)\text{exp}\left(x\right) - g\left(x\right)\text{exp}\left(x\right)}{\left(\text{exp}\left(x\right)\right)^{2}}=\dfrac{g\left(x\right)\text{exp}\left(x\right) - g\left(x\right)\text{exp}\left(x\right)}{\left(\text{exp}\left(x\right)\right)^{2}}=0 $
  2. Donc $ h $ est constante sur $ \mathbb{R} $ et comme $ h\left(0\right)=\dfrac{g\left(0\right)}{exp\left(0\right)}=\dfrac{1}{1}=1 $, $ h\left(x\right)=1 $ pour réel $ x $.

    On en déduit que, pour tout $ x \in \mathbb{R} $ : $ \dfrac{g\left(x\right)}{\text{exp}\left(x\right)}=1 $ c'est à dire $ g(x)=\text{exp}(x) $ .

    $ g $ est donc la fonction exponentielle.

    La fonction exponentielle est donc la seule fonction dérivable sur $ \mathbb{R} $ vérifiant :

    ♦  $ \text{exp}^{\prime}=\text{exp} $

    ♦  $ \text{exp}\left(0\right)=1 $

Partie C

  1. On raisonne là encore par l'absurde.

    S'il existait un réel $ x_{0} $ pour lequel $ \text{exp}\left(x_{0}\right) < 0 $, comme $ \text{exp}\left(0\right)=1 > 0 $ d'après le prérequis b. (ou le théorème des valeurs intermédiaires), il existerait un réel $ \alpha $ compris entre $ x_{0} $ et $ 0 $ tel que $ \text{exp}\left(\alpha \right)=0 $.

    Or ceci contredit le résultat de la question A. 2. Donc la fonction exponentielle n'est jamais strictement négative sur $ \mathbb{R} $. Comme elle n'est jamais nulle non plus (toujours d'après A. 2.), pour tout réel $ x $, $ \text{exp}\left(x\right) > 0 $
  2. Comme $ \text{exp}^{\prime}=\text{exp} $ est strictement positive sur $ \mathbb{R} $, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $ \mathbb{R} $.