Probabilités – Bac S Métropole 2013
Exercice 1 4 points
Commun à tous les candidats Une jardinerie vend de jeunes plants d'arbres qui proviennent de trois horticulteurs: 35% des plants proviennent de l'horticulteur H$ _{1} $, 25% de l'horticulteur H$ _{2} $ et le reste de l'horticulteur H$ _{3} $. Chaque horticulteur livre deux catégories d'arbres : des conifères et des arbres à feuilles.
La livraison de l'horticulteur H$ _{1} $ comporte 80% de conifères alors que celle de l'horticulteur H$ _{2} $ n'en comporte que 50% et celle de l'horticulteur H$ _{3} $ seulement 30%.
Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.
On envisage les événements suivants :
♦ $ H_{1} $ : « l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$ _{1} $»,
♦ $ H_{2} $ : « l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$ _{2} $»,
♦ $ H_{3} $ : « l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$ _{3} $»,
♦ $ C $ : « l'arbre choisi est un conifère»,
♦ $ F $ : « l'arbre choisi est un arbre feuillu».
- Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
- Calculer la probabilité que l'arbre choisi soit un conifère acheté chez l'horticulteur H$ _{3} $.
- Justifier que la probabilité de l'évènement $ C $ est égale à $ 0,525 $.
- L'arbre choisi est un conifère.
Quelle est la probabilité qu'il ait été acheté chez l'horticulteur H$ _{1} $ ? On arrondira à $ 10^{ - 3} $
On choisit au hasard un échantillon de $ 10 $ arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de $ 10 $ arbres dans le stock.
On appelle $ X $ la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l'échantillon choisi.
- Justifier que $ X $ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
- Quelle est la probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement $ 5 $ conifères?
On arrondira à $ 10^{ - 3} $. - Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ?
On arrondira à $ 10^{ - 3} $
Corrigé
Arbre pondéré décrivant la situation :
La probabilité que l'arbre choisi soit un conifère acheté à l'horticulteur $H_3$ est :
$ p(H_3 \cap C) = p(H_3) \times p_{H_3}(C) = 0,4 \times 0,3 = 0,12 $- D'après la formule des probabilités totales, la probabilité de choisir un conifère est :
$ p(C) = p(H_1 \cap C) + p(H_2 \cap C) + p(H_3 \cap C) $
$ p(C) = p(H_1) \times p_{H_1}(C) + p(H_2) \times p_{H_2}(C) + p(H_3) \times p_{H_3}(C) $
$ p(C) = 0,35 \times 0,8 + 0,25 \times 0,5 + 0,4 \times 0,3 = 0,28 + 0,125 + 0,12 = 0,525 $ La probabilité que le conifère choisi ait été acheté chez $H_1$ est :
$ p_C(H_1) = \dfrac{p(H_1 \cap C)}{p(C)} = \dfrac{0,35 \times 0,8}{0,525} = \dfrac{0,28}{0,525} \approx 0,533 $
Le choix d'un conifère ou d'un feuillu dans le stock d'arbres correspond à une épreuve de Bernoulli. Comme le stock est suffisamment important, on peut assimiler ce choix à $10$ tirages indépendants avec remise.
La probabilité d'obtenir $X$ conifères après $10$ épreuves suit donc la loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = p(C) = 0,525$.$ p(X = k) = \binom{10}{k} \times 0,525^k \times (1-0,525)^{10-k} $La probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement $5$ conifères est :
$ p(X = 5) = \binom{10}{5} \times 0,525^5 \times 0,475^5 = 252 \times 0,525^5 \times 0,475^5 \approx 0,243 $- L'échantillon comporte au moins deux arbres feuillus si il n'en comporte ni $0$ ni $1$. Cela revient à dire que l'on n'a pas $10$ conifères ou $9$ conifères. La probabilité est donc :
$ p(\text{au moins 2 feuillus}) = 1 - p(X = 9) - p(X = 10) $
$ = 1 - \binom{10}{9} \times 0,525^9 \times 0,475^1 - \binom{10}{10} \times 0,525^{10} \times 0,475^0 $
$ \approx 1 - 0,0152 - 0,0017 \approx 0,984 $ à $10^{-3}$ près.
(Solution rédigée par Paki)