Exercice 1 – 4 points
Commun à tous les candidats
Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à $10^{ – 4}$.
Dans un pays, il y a 2% de la population contaminée par un virus.
PARTIE A
On dispose d’un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :
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La probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité du test).
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La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97 (spécificité du test).
On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.
On note $V$ l’évènement « la personne est contaminée par le virus » et $T$ l’évènement « le test est positif ».
$\overline{V}$ et $\overline{T}$ désignent respectivement les évènements contraires de $V$ et $T$.
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Préciser les valeurs des probabilités $P\left(V\right)$, $P_{V}\left(T\right)$, $P_{\overline{V}}\left(\overline{T}\right)$.
Traduire la situation à l’aide d’un arbre de probabilités.
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En déduire la probabilité de l’évènement $V \cap T$.
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Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,0492.
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Justifier par un calcul la phrase :
« Si le test est positif, il n’y a qu’environ 40% de « chances » que la personne soit contaminée ».
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Déterminer la probabilité qu’une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.
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PARTIE B
On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants.
On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes.
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Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
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Calculer la probabilité qu’il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.
