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Matrice de transition-Bac ES Amérique du Nord 2008

Exercice 2

(5 points) - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I (calculs exacts demandés)

Sur une route, deux intersections successives "a" et "b" sont munies de feux tricolores. On suppose que ces feux ne sont pas synchronisés et fonctionnent de manière indépendante. On admet que :

  • La probabilité que le feu de "a" soit vert est égale à $ \dfrac{3}{4} $,
  • La probabilité que le feu de "b" soit vert est égale à $ \dfrac{1}{2} $.

On note A l'événement : "le feu de "a" est vert", B l'événement "le feu de "b" est vert".

Un automobiliste passe successivement aux deux intersections "a" et "b".

  1. Calculer la probabilité qu'à son passage, les deux feux soient verts.
  2. Calculer la probabilité qu'à son passage, il rencontre au moins un feu vert.

Partie II (résultats demandés à $ 10^{ - 2} $ près)

Pour se rendre à son travail, Mathurin rencontre une succession d'intersections de feux tricolores dont le fonctionnement est décrit si-dessous :

A chaque intersection :

  • Si le feu est vert, il le sera à l'intersection suivante avec la probabilité 0,9 ou sera rouge avec la probabilité 0,05.
  • Si le feu est orange, il le sera à l'intersection suivante avec la probabilité 0,1 ou sera vert avec la probabilité 0,8.
  • Si le feu est rouge, il le sera à l'intersection suivante avec la probabilité 0,5 ou sera orange avec la probabilité 0,05.

$ n $ étant un entier naturel non nul, on note :

  • $ V_{n} $ la probabilité que Mathurin rencontre un feu vert à la n-ième intersection,
  • $ O_{n} $ la probabilité que Mathurin rencontre un feu orange à la n-ième intersection,
  • $ R_{n} $ la probabilité que Mathurin rencontre un feu rouge à la n-ième intersection,
  • $ P_{n}=\left(V_{n} \quad O_{n} \quad R_{n}\right) $ la matrice traduisant l'état probabiliste du n-ième feu tricolore.
    1. Construire un graphe probabiliste pour décrire cette situation.

    2. Donner la matrice de transition $ M $ complétée de ce graphe :

      $ M = \begin{pmatrix} \cdots & 0,05 & 0,05 \\ 0,8 & \cdots & 0,1 \\ 0,45 & \cdots & 0,5 \end{pmatrix} $

    1. Si le premier feu rencontré est vert, donner la matrice $ P_{1} $ de l'état inital puis calculer $ P_{2} $.
    2. On donne $ P_{3}=\left(0,87 \quad 0,05 \quad 0,08\right) $. Quelle est la probabilité que le quatrième feu soit vert ?
  3. Si le premier feu rencontré est rouge, donner la matrice $ P_{1} $ de l'état initial puis calculer $ P_{2} $.
  4. On remarque que, quelle que soit la couleur du premier feu rencontré, on obtient à partir d'un certain rang n : $ P_{n}=\left(0,85 \quad 0,05 \quad 0,10\right) $.
    Donner une interprétation concrète de ce résultat.

Corrigé

Partie I

  1. Les feux de "a" et "b" fonctionnant de manière indépendante, les événements A et B sont indépendants.
    La probabilité que les deux feux soient verts est :

    $ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) $

    $ P(A \cap B) = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{2} = $ $ \dfrac{3}{8} $

  2. La probabilité qu'il rencontre au moins un feu vert est $ P(A \cup B) $.
    D'après la formule de l'union :

    $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $

    $ P(A \cup B) = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{8} $

    $ P(A \cup B) = \dfrac{6}{8} + \dfrac{4}{8} - \dfrac{3}{8} $

    $ P(A \cup B) = $ $ \dfrac{7}{8} $

Partie II

    1. Le graphe probabiliste comporte trois sommets : V (vert), O (orange) et R (rouge).
      Les probabilités de transition sont obtenues grâce aux données de l'énoncé et en s'assurant que la somme des probabilités issues d'un même sommet est égale à 1.

      • Depuis V : $ P(V \to V) = 0,9 $ ; $ P(V \to R) = 0,05 $ ; donc $ P(V \to O) = 1 - (0,9 + 0,05) = 0,05 $.
      • Depuis O : $ P(O \to O) = 0,1 $ ; $ P(O \to V) = 0,8 $ ; donc $ P(O \to R) = 1 - (0,8 + 0,1) = 0,1 $.
      • Depuis R : $ P(R \to R) = 0,5 $ ; $ P(R \to O) = 0,05 $ ; donc $ P(R \to V) = 1 - (0,5 + 0,05) = 0,45 $.
      Graphe probabiliste

    2. La matrice de transition $ M $ est obtenue en reportant ces probabilités (ordre V, O, R) :

      $ M = \begin{pmatrix} 0,9 & 0,05 & 0,05 \\ 0,8 & 0,1 & 0,1 \\ 0,45 & 0,05 & 0,5 \end{pmatrix} $

    1. Si le premier feu rencontré est vert, l'état initial est $ P_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} $.
      L'état au deuxième feu est $ P_2 = P_1 \times M $ :

      $ P_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,9 & 0,05 & 0,05 \\ 0,8 & 0,1 & 0,1 \\ 0,45 & 0,05 & 0,5 \end{pmatrix} = $ $ \begin{pmatrix} 0,9 & 0,05 & 0,05 \end{pmatrix} $

    2. On donne $ P_3 = \begin{pmatrix} 0,87 & 0,05 & 0,08 \end{pmatrix} $.
      Le quatrième état est $ P_4 = P_3 \times M $. La probabilité d'avoir un feu vert est la première composante de $ P_4 $ :
      $ V_4 = 0,87 \times 0,9 + 0,05 \times 0,8 + 0,08 \times 0,45 $
      $ V_4 = 0,783 + 0,04 + 0,036 = 0,859 $

      La probabilité que le quatrième feu soit vert est de 0,86 (arrondi à $ 10^{-2} $).

  3. Si le premier feu rencontré est rouge, l'état initial est $ P_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $.
    $ P_2 = P_1 \times M = $ $ \begin{pmatrix} 0,45 & 0,05 & 0,5 \end{pmatrix} $.
  4. Le résultat signifie que l'état probabiliste converge vers un état stable $ P = \begin{pmatrix} 0,85 & 0,05 & 0,10 \end{pmatrix} $.
    Interprétation : Sur le long terme, quelle que soit la couleur du premier feu rencontré, la probabilité que Mathurin rencontre un feu vert se stabilise à 0,85, celle d'un feu orange à 0,05 et celle d'un feu rouge à 0,10.