[ROC] Formule de soustraction des cosinus
$ \alpha $ et $ \beta $ désignent deux réels.
Sur le cercle trigonométrique, on place les points $ A $ et $ B $ tels que $ \alpha $ et $ \beta $ soient des mesures des angles orientés $ \left(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OA}\right) $ et $ \left(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OB}\right) $
- Donner les coordonnées des points $ A $ et $ B $ en fonction de $ \alpha $ et $ \beta $.
- Calculer le produit scalaire $ \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} $ en fonction de $ \alpha $ et $ \beta $.
En déduire la formule :
$ \cos\left(\alpha - \beta \right)=\cos\left(\alpha \right)\cos\left(\beta \right)+\sin\left(\alpha \right)\sin\left(\beta \right) $
Corrigé
- Par définition du cercle trigonométrique, si un point $ M $ est tel que $ \theta $ est une mesure de l'angle orienté $ \left(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OM}\right) $, alors ses coordonnées sont $ (\cos \theta ; \sin \theta) $.
Ainsi, les coordonnées des points $ A $ et $ B $ sont :
$ A(\cos \alpha ; \sin \alpha) $ et $ B(\cos \beta ; \sin \beta) $ - Le produit scalaire $ \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} $ peut se calculer à l'aide des coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{OA} \binom{\cos \alpha}{\sin \alpha} $ et $ \overrightarrow{OB} \binom{\cos \beta}{\sin \beta} $ :
$ \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} = x_A x_B + y_A y_B $
$ \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $ D'autre part, d'après la définition du produit scalaire avec le cosinus :
$ \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} = OA \times OB \times \cos\left(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}\right) $Comme $ A $ et $ B $ sont sur le cercle trigonométrique de centre $ O $, on a $ OA = 1 $ et $ OB = 1 $.
De plus, d'après la relation de Chasles sur les angles orientés :
$ \left(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}\right) = \left(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OI}\right) + \left(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OB}\right) $
$ \left(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}\right) = -\left(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OA}\right) + \left(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OB}\right) $
$ \left(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}\right) = -\alpha + \beta = \beta - \alpha $On en déduit :
$ \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} = 1 \times 1 \times \cos(\beta - \alpha) $
$ \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} = \cos(\beta - \alpha) $La fonction cosinus étant paire, $ \cos(\beta - \alpha) = \cos(\alpha - \beta) $. Donc :
$ \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} = \cos(\alpha - \beta) $En égalisant les deux expressions du produit scalaire obtenues aux questions 2 et 3, on obtient la formule :
$ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $