Dans le plan muni d’un repère orthonormé $\left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right)$ on considère les points:
$A \left( – 1 ; 2\right) , B \left(0 ; 5\right)$ et $C \left(2 ; 1\right)$
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Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux.
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Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$ et les normes $||\overrightarrow{CA}||$ et $||\overrightarrow{CB}||$
En déduire la mesure de l’angle $\widehat{ACB}$.
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Que peut-on en conclure pour le triangle $ABC$ ?
Corrigé
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$\overrightarrow{AB} \left(1 ; 3\right)$ et $\overrightarrow{AC} \left(3 ; – 1\right)$
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=1\times 3+3\times \left( – 1\right)=0$
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont donc orthogonaux.
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$\overrightarrow{CA} \left( – 3 ; 1\right)$ et $\overrightarrow{CB} \left( – 2 ; 4\right)$
$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=\left( – 3\right)\times \left( – 2\right)+1\times 4=10$
$||\overrightarrow{CA}||=\sqrt{\left( – 3\right)^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$ et $||\overrightarrow{CB}||=\sqrt{\left( – 2\right)^{2}+4^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
Comme $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=||\overrightarrow{CA}||\times ||\overrightarrow{CB}||\times \cos\left(\widehat{ACB}\right)$ on en déduit :
$\cos\left(\widehat{ACB}\right) = \dfrac{\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}}{||\overrightarrow{CA}||\times ||\overrightarrow{CB}||} = \dfrac{10}{2\sqrt{5}\times \sqrt{10}}=\dfrac{10}{10\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
L’angle $\widehat{ACB}$ mesure donc $45$°
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L’angle $\widehat{ABC}$ mesure $180 – 90 – 45=45$° également, donc le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $A$.