Équation trigonométrique (4)

L'équation à résoudre est $\cos(3x) = \sin(2x)$.

On utilise l'identité $\sin\left( \dfrac{\pi}{2} - a \right) = \cos(a)$. L'équation $\cos(3x) = \sin(2x)$ est donc équivalente à :

Ce qui équivaut à :

On résout ces deux cas séparément :

1. Premier cas : $2x = \dfrac{\pi}{2} - 3x + 2k\pi$

   $2x + 3x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$
   $5x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$
   $x = \dfrac{\pi}{10} + \dfrac{2k\pi}{5}$

   On cherche les solutions dans l'intervalle $\left] -\pi ; \pi \right]$ :

   $-\pi < \dfrac{\pi}{10} + \dfrac{2k\pi}{5} \le \pi$

   En divisant par $\pi$ :

   $-1 < \dfrac{1}{10} + \dfrac{2k}{5} \le 1$
   $-\dfrac{11}{10} < \dfrac{2k}{5} \le \dfrac{9}{10}$

   En multipliant par $\dfrac{5}{2}$ :

   $-\dfrac{11}{4} < k \le \dfrac{9}{4}$

   Soit $-2,75 < k \le 2,25$. Les valeurs entières possibles pour $k$ sont $\{ -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 \}$.

   On obtient les solutions :

   • $k = -2 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{10} - \dfrac{4\pi}{5} = -\dfrac{7\pi}{10}$
   • $k = -1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{10} - \dfrac{2\pi}{5} = -\dfrac{3\pi}{10}$
   • $k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{10}$
   • $k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{10} + \dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{5\pi}{10} = \dfrac{\pi}{2}$
   • $k = 2 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{10} + \dfrac{4\pi}{5} = \dfrac{9\pi}{10}$

2. Deuxième cas : $2x = \pi - \left( \dfrac{\pi}{2} - 3x \right) + 2k\pi$

   $2x = \dfrac{\pi}{2} + 3x + 2k\pi$
   $-x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$
   $x = -\dfrac{\pi}{2} - 2k\pi$

   Dans l'intervalle $\left] -\pi ; \pi \right]$, la seule valeur possible est pour $k=0$ :

3. $k = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{2}$

L'ensemble des solutions dans $\left] -\pi ; \pi \right]$ est :

Représentation des solutions sur le cercle trigonométrique :

(Solution rédigée par Paki)