Équation trigonométrique (2)

$\Delta = b^{2} – 4ac = 5^{2} – 4\times 2\times\left( – 3\right) = 49$

Le discriminant est strictement positif donc l’équation possède 2 solutions :

$x_{1} = \dfrac{ – 5+7}{2\times 2} = \dfrac{1}{2}$

$x_{2} = \dfrac{ – 5 – 7}{2\times 2} = – 3$

$\cos\left(2x\right)=2\cos^{2}\left(x\right) – 1$

L’équation proposée est donc équivalente à :

$2\cos^{2}\left(x\right) – 1+5\cos\left(x\right) – 2=0$

$2\cos^{2}\left(x\right)+5\cos\left(x\right) – 3=0$(1)
On pose $X=\cos\left(x\right)$. L’équation se ramène alors à :

$2X^{2}+5X – 3=0$

dont les solutions sont (d’après la question 1.)

$X_{1} = \dfrac{1}{2}$ et $X_{2} = – 3$

Les solutions de l’équation (1) vérifient donc :

$\cos\left(x\right)=\dfrac{1}{2} \quad$(2)

ou

$\cos\left(x\right)= – 3 \quad$(3)

Comme $\dfrac{1}{2}=\cos\left(\dfrac{\pi }{3}\right)$, l’équation (2) donne :

$\cos\left(x\right)=\cos\left(\dfrac{\pi }{3}\right)$

$x=\dfrac{\pi }{3}+2k\pi$ ou $x= – \dfrac{\pi }{3}+2k\pi$ (voir théorème du cours)

L’équation (3) n’admet pas de solution car $- 3 \notin \left[ – 1 ; 1\right]$

En conclusion, les solutions de l’équation proposée sont les réels de la forme $x=\dfrac{\pi }{3}+2k\pi$ ou $x= – \dfrac{\pi }{3}+2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$