Vecteurs et alignement
Soient un triangle $ ABC $, $ I $ le symétrique de $ A $ par rapport à $ B $, $ J $ le milieu de $ \left[BC\right] $ et $ K $ le point tel que $ \overrightarrow{AK}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{AC} $
Montrer que les points $ I, J $ et $ K $ sont alignés. (On pourra se placer dans un repère judicieusement choisi)
Corrigé
Solution rédigée par PYF82
On se place dans la base $ (\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}) $
On a : $ \overrightarrow{KJ}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} $
$ \overrightarrow{KJ}= - \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}) $
$ \overrightarrow{KJ}= - \dfrac{4}{6}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{6}\overrightarrow{AC}) $
$ \overrightarrow{KJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \dfrac{1}{6}\overrightarrow{AC} $
et $ \overrightarrow{KI}= \overrightarrow{KA} + \overrightarrow{AI}= 2\overrightarrow{AB} - \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC} $
On en déduit que : $ \overrightarrow{KI}=4\overrightarrow{KJ} $ . Les vecteurs $ \overrightarrow{KI} $ et $ \overrightarrow{KJ} $ sont donc colinéaires : on en déduit que les points $ K, I $ et $ J $ sont alignés.