Equation du second degré avec paramètre

On considère l'équation (E) d'inconnue $ x $ :

$ x^{2} - mx+\dfrac{1}{4}=0 $

où $ m $ est réel ( $ m $ est appelé paramètre )

Discuter du nombre de solution(s) de (E) selon les valeurs de $ m $.

Corrigé

Le discriminant du polynôme $ x^{2} - mx+\dfrac{1}{4}=0 $ est

$ \Delta =\left( - m\right)^{2} - 4\times 1\times \dfrac{1}{4} $

$ \Delta =m^{2} - 1 $

$ \Delta =\left(m - 1\right)\left(m+1\right) $

$ \Delta $ est un polynôme du second degré en $ m $. Ses racines sont $ - 1 $ et $ 1 $.

$ \Delta $ est strictement positif ( « du signe de $ a $ » ) sur $ \left] - \infty ; - 1\right[ $ et sur $ \left]1;+\infty \right[ $

$ \Delta $ est strictement négatif ( « du signe opposé de $ a $ » ) sur $ \left] - 1;1\right[ $

Donc :

si $ m < - 1 $ ou $ m > 1 $ : l'équation (E) possède deux solutions :

$ x_{1}=\dfrac{m+\sqrt{m^{2} - 1}}{2} $ et $ x_{2}=\dfrac{m - \sqrt{m^{2} - 1}}{2} $
si $ - 1 < m < 1 $ : l'équation (E) ne possède aucune solution
si $ m= - 1 $ ou $ m=1 $ : l'équation (E) ne possède une unique solution:

$ x_{0}=\dfrac{m}{2} $