[Bac] Probabilités – Variables aléatoires
[D'après Bac S Liban 2008]
Une urne A contient quatre boules rouges et six boules noires. Une urne B contient une boule rouge et neuf boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher.
Partie A
Un joueur dispose d'un dé à six faces, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6. Il le lance une fois : s'il obtient 1, il tire au hasard une boule de l'urne A, sinon il tire au hasard une boule de l'urne B.
Soit $ R $ l'événement « le joueur obtient une boule rouge ». Montrer que $ p\left(R\right)=0,15 $.
Partie B
Le joueur répète deux fois l'épreuve décrite dans la partie A, dans des conditions identiques et indépendantes (c'est-à-dire qu'à l'issue de la première épreuve, les urnes retrouvent leur composition initiale).
Soit $ x $ un entier naturel non nul.
Lors de chacune des deux épreuves, le joueur gagne $ x $ euros s'il obtient une boule rouge et perd deux euros s'il obtient une boule noire.
On désigne par $ G $ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur en euros au terme des deux épreuves. La variable aléatoire $ G $ prend donc les valeurs $ 2x, x - 2 $ et $ - 4 $.
- Déterminer la loi de probabilité de $ G $.
- Exprimer l'espérance $ E\left(G\right) $ de la variable aléatoire $ G $ en fonction de $ x $.
- Pour quelles valeurs de $ x $ a-t-on $ E\left(G\right) \geqslant 0 $ ?
Corrigé
Solution rédigée par Abi
