[D’après Bac S Liban 2008]
Une urne A contient quatre boules rouges et six boules noires. Une urne B contient une boule rouge et neuf boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher.
Partie A
Un joueur dispose d’un dé à six faces, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6. Il le lance une fois : s’il obtient 1, il tire au hasard une boule de l’urne A, sinon il tire au hasard une boule de l’urne B.
Soit $R$ l’événement « le joueur obtient une boule rouge ». Montrer que $p\left(R\right)=0,15$.
Partie B
Le joueur répète deux fois l’épreuve décrite dans la partie A, dans des conditions identiques et indépendantes (c’est-à-dire qu’à l’issue de la première épreuve, les urnes retrouvent leur composition initiale).
Soit $x$ un entier naturel non nul.
Lors de chacune des deux épreuves, le joueur gagne $x$ euros s’il obtient une boule rouge et perd deux euros s’il obtient une boule noire.
On désigne par $G$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur en euros au terme des deux épreuves. La variable aléatoire $G$ prend donc les valeurs $2x, x – 2$ et $- 4$.
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Déterminer la loi de probabilité de $G$.
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Exprimer l’espérance $E\left(G\right)$ de la variable aléatoire $G$ en fonction de $x$.
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Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $E\left(G\right) \geqslant 0$ ?
Corrigé
Solution rédigée par Abi
