[Bac] Variables aléatoires – Espérance mathématique
[D'après Bac S Métropole 2009) Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher :
7 jetons blancs numérotés de 1 à 7 et 3 jetons noirs numérotés de 1 à 3.
On tire simultanément deux jetons de ce sac.
- On note A l'événement "obtenir deux jetons blancs".
Démontrer que la probabilité de l'événement A est égale à $ \dfrac{7}{15} $. (On pourra utiliser un arbre pondéré) Soit $ X $ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané.
- Déterminer la loi de probabilité de $ X $.
- Calculer l'espérance mathématique de $ X $.
Corrigé
L'expérience peut être modélisée par l'arbre ci-dessous (les fractions n'ont volontairement pas été simplifiées) :
La probabilité d'obtenir deux jetons blancs est :
$ p\left(A\right)=\dfrac{7}{10}\times \dfrac{6}{9}=\dfrac{7}{15} $
$ X $ peut prendre les valeurs $ 0; 1 $ et $ 2 $.
Grâce à l'arbre ci-dessus on trouve :
$ p\left(X=0\right)=\dfrac{3}{10}\times \dfrac{2}{9}=\dfrac{1}{15} $
$ p\left(X=1\right)=\dfrac{7}{10}\times \dfrac{3}{9}+\dfrac{3}{10}\times \dfrac{7}{9}=\dfrac{1}{15}=\dfrac{7}{15} $
La loi de probabilité de $ X $ est donnée par le tableau :
$ x_{i} $ $ 0 $ $ 1 $ $ 2 $ $ p\left(X=x_{i}\right) $ $ \dfrac{1}{15} $ $ \dfrac{7}{15} $ $ \dfrac{7}{15} $ - L'espérance mathématique est égale à :
$ E\left(X\right)=0\times \dfrac{1}{15}+1\times \dfrac{7}{15}+2\times \dfrac{7}{15}=\dfrac{7}{5} $