Exercices
15 min
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Arbre et loi de probabilité
On lance 3 pièces bien équilibrées valant respectivement 1€, 2€ et 2€.
On veut étudier la variable aléatoire $ X $ qui totalise le montant en euros des pièces tombées sur Pile.
- Représenter l'expérience par un arbre pondéré.
- Quelles sont les différentes valeurs possibles pour $ X $?
Donner la loi de probabilité de $ X $. - Quelle est la probabilité d'obtenir un résultat supérieur ou égal à 3€ ?
Corrigé
Pour simplifier la lecture de l'arbre chaque évènement a été représenté par le montant généré (par exemple "1" signifie que la pièce de 1 euro a donné "Pile")
Les valeurs prises par la variable aléatoire $ X $ sont :
0 $ \quad $ (0+0+0)
1 $ \quad $ (1+0+0)
2 $ \quad $ (0+2+0 ou 0+0+2)
3 $ \quad $ (1+2+0 ou 1+0+2)
4 $ \quad $ (0+2+2)
5 $ \quad $ (1+2+2)
Chaque éventualité (issue) a une probabilité de $ \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8} $. Les évènements $ X=2 $ et $ X=3 $ correspondent chacun à 2 éventualités. On obtient donc le tableau suivant :
$ x_{i} $ 0 1 2 3 4 5 $ p\left(X=x_{i}\right) $ $ \dfrac{1}{8} $ $ \dfrac{1}{8} $ $ \dfrac{1}{4} $ $ \dfrac{1}{4} $ $ \dfrac{1}{8} $ $ \dfrac{1}{8} $ - On recherche $ p\left(X\geqslant 3\right) $.
$ p\left(X\geqslant 3\right)=p\left(X=3\right)+p\left(X=4\right)+p\left(X=5\right)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2} $