[Bac] Calcul des premiers termes d'une suite

[D'après bac S Métropole 2013]

Soit la suite numérique $ \left(u_{n}\right) $ définie sur $ \mathbb{N} $ par $ u_{0}=2 $ et pour tout entier naturel n,

$ u_{n+1}=\dfrac{2}{3}u_{n}+\dfrac{1}{3}n+1. $

Calculer $ u_{1}, u_{2}, u_{3} $ et $ u_{4} $. On pourra en donner des valeurs approchées à $ 10^{ - 2} $ près.
Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.

Corrigé

Calculons les termes successifs de la suite en utilisant la relation de récurrence $u_{n+1}=\dfrac{2}{3}u_{n}+\dfrac{1}{3}n+1$ avec $u_0 = 2$ :
Calcul de $u_1$ (pour $n=0$) :

$ u_1 = \dfrac{2}{3}u_0 + \dfrac{1}{3} \times 0 + 1 = \dfrac{2}{3} \times 2 + 1 = \dfrac{4}{3} + \dfrac{3}{3} = \dfrac{7}{3} \approx 2,33 $
Calcul de $u_2$ (pour $n=1$) :

$ u_2 = \dfrac{2}{3}u_1 + \dfrac{1}{3} \times 1 + 1 = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{7}{3} + \dfrac{1}{3} + 1 = \dfrac{14}{9} + \dfrac{3}{9} + \dfrac{9}{9} = \dfrac{26}{9} \approx 2,89 $
Calcul de $u_3$ (pour $n=2$) :

$ u_3 = \dfrac{2}{3}u_2 + \dfrac{1}{3} \times 2 + 1 = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{26}{9} + \dfrac{2}{3} + 1 = \dfrac{52}{27} + \dfrac{18}{27} + \dfrac{27}{27} = \dfrac{97}{27} \approx 3,59 $
Calcul de $u_4$ (pour $n=3$) :

$ u_4 = \dfrac{2}{3}u_3 + \dfrac{1}{3} \times 3 + 1 = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{97}{27} + 1 + 1 = \dfrac{194}{81} + \dfrac{162}{81} = \dfrac{356}{81} \approx 4,40 $
On observe que les premiers termes de la suite sont :

$ u_0 = 2 < u_1 \approx 2,33 < u_2 \approx 2,89 < u_3 \approx 3,59 < u_4 \approx 4,40 $

On peut donc émettre la conjecture suivante :
La suite $(u_n)$ est strictement croissante.