Placements financiers (calculatrice)

Une banque A propose un placement (à intérêts composés*) au taux de 8% par an. Des frais de gestion de 20 euros sont par ailleurs prélevés tous les ans sur le capital placé. On note $u_{n}$ le capital en euros obtenu la $n$-ième année.
1. Un client veut placer 1 000 euros (c’est à dire que $u_{0}=1 000$).
  
  Calculer $u_{1}$, $u_{2}$.
2. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=1,08u_{n} – 20$
Une banque B propose un placement (à intérêts composés*) au taux de 6,5% par an sans frais de gestion.On note $v_{n}$ le capital en euros obtenu la $n$-ième année avec ce placement.
1. Le client souhaite toujours placer 1 000 euros.
  Calculer $v_{1}$, $v_{2}$.
2. A l’aide d’une calculatrice ou d’un tableur, déterminer, en fonction du nombre d’années (pour $1\leqslant n\leqslant 20$), le placement le plus intéressant entre celui de la banque A et celui de la banque B (pour une somme placée de 1 000 euros)

* Un capital est placé à intérêts composés lorsque les intérêts de chaque période sont incorporés au capital pour l’augmenter progressivement et porter intérêts à leur tour. (source : Wikipedia)

Corrigé

1. Capital + intérêts après un an = $1000 + \dfrac{8}{100}\times 1000$
  
  Capital + intérêts après un an = $1000\times \left(1+\dfrac{8}{100}\right)=1000\times 1,08=1080$
  
  Capital + intérêts – frais après un an =$1080 – 20 = 1060$
  
  Donc $u_{1}=1060$.
  
  De même : $u_{2}=1080\times \left(1+\dfrac{8}{100}\right) – 20 = 1124,80$
2. Pour trouver le capital $u_{n+1}$, on multiplie le capital de l’année précédente, $u_{n}$, par $1,08$ pour adjoindre les intérêts et on soustrait les frais de gestion de $20$ euros. On a donc bien :
  
  $u_{n+1}=1,08u_{n} – 20$
1. $v_{1}=1000\times \left(1+\dfrac{6,5}{100}\right)=1000\times 1,065=1065$
  
  $v_{2}=1065\times \left(1+\dfrac{6,5}{100}\right)=1065\times 1,065=1134,225$
2. Sur tableur, on obtient les résultats suivants pour $u_{n}$ et $v_{n}$ :
  
  Le placement de la banque B est plus intéressant pour un placement d’une durée inférieure ou égale à 11 ans, et celui de la banque A pour un placement d’une durée supérieure ou égale à 12 ans.