Nombre dérivé et tangente

Soit la fonction $ f $, définie par : $ f\left(x\right)=x^{2}+3x - 4 $ et $ \mathscr C_{f} $ sa courbe représentative.

Calculer $ \dfrac{f\left(h\right) - f\left(0\right)}{h} $ pour $ h\neq 0 $.
En déduire la valeur de $ f^{\prime}\left(0\right) $.
Déterminer l'équation de la tangente à la parabole $ \mathscr C_{f} $ au point d'abscisse $ 0 $.

Corrigé

Pour $ h\neq 0 $:

$ \dfrac{f\left(h\right) - f\left(0\right)}{h}=\dfrac{\left(h^{2}+3h - 4\right) - \left(0^{2}+3\times 0 - 4\right)}{h}=\dfrac{h^{2}+3h}{h}=h+3 $
Lorsque $ h $ tend vers $ 0 $, le rapport $ \dfrac{f\left(0+h\right) - f\left(0\right)}{h}=h+3 $ tend vers $ 3 $ donc $ f^{\prime}\left(0\right)=3 $.
L'équation cherchée est :

$ y=f^{\prime}\left(0\right)\left(x - 0\right)+f\left(0\right) $

Or $ f\left(0\right)=0^{2}+3\times 0 - 4= - 4 $ et $ f^{\prime}\left(0\right)=3 $ d'après la question précédente.

L'équation de la tangente à la parabole $ \mathscr C_{f} $ au point d'abscisse $ 0 $ est donc :

$ y=3x - 4 $