Second degré (Olympiades académiques Poitiers 2011)
Bob : « Salut Alice ! Tiens, c'est un trinôme du second degré que tu as écrit dans la marge de ta feuille.
Quelles en sont les racines ? »
Alice : « Ce sont deux entiers positifs. L'une des racines est mon âge, et l'autre est l'âge de mon petit frère Clément. »
Bob : « C'est amusant ! Voyons si je peux deviner quel âge vous avez, Clément et toi. Cela ne devrait pas être trop difficile, puisque les coefficients sont entiers. Je crois deviner ton âge, il me suffit de vérifier en remplaçant $ x $ par ce nombre. . .
Zut ! Cela donne $ - 55 $ au lieu de $ 0 $. »
Alice : « C'est que je n'ai pas cet âge là !. . . »
Bob : « Sans doute. A propos, si je remplace $ x $ par $ 1 $ j'obtiens la somme des coefficients. »
Alice : « Effectivement ! Il faut aussi que tu saches que cette somme est égale à mon âge moins un. »
David qui a tout entendu, donne alors l'âge de Clément et celui d'Alice.
- Prouver que Clément est âgé de 2 ans.
- Déterminer l'âge d'Alice, sachant qu'elle a entre 10 et 50 ans.
Corrigé
Soient $ X_A $ l'âge d'Alice et $ X_C $ celui de Clément. $ X_A $ et $ X_C \in \mathbb{N}^* $ et sont solutions de l'équation générale du second degré :
$ a(x-X_A)(x-X_C) = 0 $qui peut encore s'écrire sous forme de trinôme :
$ ax^2 - a(X_A+X_C)x + aX_A X_C = 0 $avec $ a \in \mathbb{Z}^* $ puisque les coefficients sont entiers.
Par ailleurs, on sait d'après l'énoncé que pour $ x = 1 $ la somme des coefficients du trinôme est égale à $ X_A - 1 $, ce qui revient à dire que :
$ a(1-X_A)(1-X_C) = X_A - 1 $qui peut s'écrire :
$ (X_A - 1)[a(X_C - 1) - 1] = 0 $Il est évident que $ X_A \neq 1 $. Donc on doit avoir $ a(X_C - 1) - 1 = 0 $, ou encore, puisque $ a \neq 0 $ :
$ X_C = \dfrac{a+1}{a} $La seule solution possible en nombres entiers est $ a = 1 $ et $ X_C = 2 $.
Clément a 2 ans.Le trinôme du second degré s'écrit, en tenant compte que $ a = 1 $ et $ X_C = 2 $ :
$ x^2 - (X_A + 2)x + 2X_A $On sait d'après l'énoncé qu'il existe une valeur $ X $ de $ x $, avec $ X \in \mathbb{N}^* $ et $ X \neq X_A $, telle que :
$ X^2 - (X_A + 2)X + 2X_A = -55 $Posons $ X = X_A + n $ avec $ n \in \mathbb{Z}^* $. L'égalité ci-dessus s'écrit :
$ (X_A + n)^2 - (X_A + 2)(X_A + n) + 2X_A = -55 $En développant et réarrangeant le premier membre de l'égalité, on obtient :
$ n(n + X_A - 2) = -55 $Si $ n > 0 $, comme $ X_A - 2 > 0 $ (Alice est plus âgée que Clément), on aurait $ n(n + X_A - 2) > 0 $, ce qui est contradictoire, donc $ n < 0 $, c'est-à-dire $ n \in \mathbb{Z}^- $.
Comme $ -55 = -5 \times 11 $ est divisible par $ n $, on a $ n = -1 $ ou $ n = -5 $ ou $ n = -11 $ ou $ n = -55 $.
- Si $ n = -1 $, alors $ (-1 + X_A - 2) = 55 $ et $ X_A = 58 $, impossible car $ 10 \leq X_A \leq 50 $.
- Si $ n = -5 $, alors $ (-5 + X_A - 2) = 11 $ et $ X_A = 18 $.
- Si $ n = -11 $, alors $ (-11 + X_A - 2) = 5 $ et $ X_A = 18 $.
- Si $ n = -55 $, alors $ (-55 + X_A - 2) = 1 $ et $ X_A = 58 $, impossible car $ 10 \leq X_A \leq 50 $.
Donc Alice a 18 ans.
NB.
Le trinôme écrit par Alice dans la marge de sa feuille est $ x^2 - 20x + 36 $.
$ f(X_C) = f(2) = 2^2 - 20 \times 2 + 36 = 4 - 40 + 36 = 0 $
$ f(X_A) = f(18) = 18^2 - 20 \times 18 + 36 = 324 - 360 + 36 = 0 $
$ f(1) = 1 - 20 + 36 = 17 = X_A - 1 $
$ f(X_A - 11) = f(7) = 49 - 140 + 36 = -55 \text{ (cas } n = -11 \text{)} $
$ f(X_A - 5) = f(13) = 169 - 260 + 36 = -55 \text{ (cas } n = -5 \text{)} $
Bob aurait donc estimé qu'Alice avait 7 ou 13 ans. On peut sans doute éliminer le premier cas car, même en admettant que l'on n'ait pas dit à Bob qu'Alice avait entre 10 et 50 ans, il aurait fallu qu'elle soit extrêmement précoce pour savoir à 7 ans ce qu'est un trinôme du second degré. Bob a donc très probablement donné 13 ans à Alice, ce qui a certainement dû vexer cette dernière.
(Solution rédigée par Paki)