Inéquations se ramenant au 2nd degré

Précisons tout d'abord que $ \dfrac{4}{x - 1} $ est défini pour $ x\neq 1 $

$ \dfrac{4}{x - 1} \geqslant x+2 \Leftrightarrow \dfrac{4}{x - 1} - \left(x + 2\right) \geqslant 0 $

On réduit au même dénominateur :

$ \phantom{\dfrac{4}{x - 1} \geqslant x+2 } \Leftrightarrow \dfrac{4}{x - 1} - \dfrac{\left(x + 2\right)\left(x - 1\right)}{x - 1} \geqslant 0 $

$ \phantom{\dfrac{4}{x - 1} \geqslant x+2 } \Leftrightarrow \dfrac{4 - \left(x^{2}+x - 2\right)}{x - 1} \geqslant 0 $

$ \phantom{\dfrac{4}{x - 1} \geqslant x+2 } \Leftrightarrow \dfrac{ - x^{2} - x+6}{x - 1} \geqslant 0 $

Le numérateur est un polynôme du second degré dont les racines sont $ 2 $ et $ - 3 $ (voir Calculatrice second degré)

$ - x^{2} - x+6 $ est du signe de $ a \left(= - 1\right) $ donc négatif à "l'extérieur" des racines.

Le dénominateur $ x - 1 $ est un polynôme du premier degré dont le coefficient directeur est positif donc $ x - 1 $ est "négatif puis positif".

On obtient le tableau de signes suivant :

L'ensemble des solutions est donc :

$ S=\left] - \infty ; - 3\right] \cup \left]1 ; 2\right] $