Soit la fonction polynôme $f$ définie par :
$f\left(x\right)=x^{3} – 4x+3$
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Calculer $f\left(1\right)$.
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Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que, pour tout réel $x$ : $f\left(x\right)=\left(x – 1\right)\left(x^{2}+ax+b\right)$
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En déduire les racines de $f$.
Corrigé
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$f\left(1\right)=1^{3} – 4\times 1+3=1 – 4+3=0$
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$\left(x – 1\right)\left(x^{2}+ax+b\right)=x^{3}+ax^{2}+bx – x^{2} – ax – b$
On regroupe suivant les puissances de $x$ :
$\left(x – 1\right)\left(x^{2}+ax+b\right)=x^{3}+ax^{2} – x^{2}+bx – ax – b=x^{3}+\left(a – 1\right)x^{2}+\left(b – a\right)x – b$
Ce polynôme est identique au polynôme $f$ si et seulement si il a les mêmes coefficients, c’est à dire :
$$\left\{ \begin{matrix} a – 1=0 \\ b – a= – 4 \\ – b=3 \end{matrix}\right.$$
ce qui donne $b= – 3$ et $a=1$
On a donc $f\left(x\right)=\left(x – 1\right)\left(x^{2}+x – 3\right)$
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Trouver \les racines de $f$, c’est résoudre l’équation $f\left(x\right)=0$.
$\left(x – 1\right)\left(x^{2}+x – 3\right)=0$ est une équation « produit \nul » :
$\left(x – 1\right)\left(x^{2}+x – 3\right)=0 \Leftrightarrow x – 1=0$ ou $x^{2}+x – 3=0$
La première équation a pour solution $x=1$ (ce qui confirme la réponse de la question 1.) et la seconde admet comme solutions :
$x_{1} = \dfrac{ – 1+\sqrt{13}}{2}$
$x_{2} = \dfrac{ – 1 – \sqrt{13}}{2}$ (voir détail résolution).
$f$ admet donc 3 racines : $1, \dfrac{ – 1+\sqrt{13}}{2}, \dfrac{ – 1 – \sqrt{13}}{2}$.