Quiz
Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R} $ par :
$ g(x) = \int_{0}^{x} t \sin t\ \text{d}t. $ dt.
La fonction $g$ est une primitive de la fonction $ x \longmapsto x \sin x $ sur $\mathbb{R}. $
C'est vrai.
En effet, si $f$ est une fonction continue sur $\mathbb{R} $ et $a$ un réel quelconque, la fonction :
$ x \longmapsto \int_{a}^{x} f(t) \text{d}t $
est une primitive de la fonction $f$.
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Soit le nombre réel :
$ I = \int_{0}^{ \pi } t^4 \sin t \ \text{d}t $ dt
$I$ est positif ou nul.
C'est vrai.
En effet, sur l'intervalle $ \left[ 0~;~ \pi \right] $ :
$t^4 \geqslant 0 $⩾0 et $ \sin t \geqslant 0 $
Par conséquent $t^4 \sin t \geqslant 0 $ et $ I \geqslant 0 $ (propriété de positivité des intégrales).
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Soient les réels :
$ I = \int_{0}^{1} x \text{e}^{ x } \text{d}x $
$ J = \int_{0}^{1} x^2 \text{e}^{ x } \text{d}x $
$ I \leqslant J $
C'est faux.
Sur l’intervalle $ \left[ 0~;~1 \right] $, $ x \geqslant x^2 $ ( sur $ \left[ 0~;~1 \right] $ la parabole d'équation $ y=x^2$ est située au-dessous de la droite d'équation $ y = x $ ) donc $ x \text{e}^{ x } \geqslant x^2 \text{e}^{ x } $ (produit par un nombre positif).
Par conséquent : $ I \geqslant J $
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Pour tout entier naturel $n$, on pose :
$ u_n = \int_{0}^{1} x^n \text{d}x. $
La suite $(u_n)$ est croissante.
C'est faux.
Pour tout entier naturel $n$ : $ x^n \geqslant x^{n+1} $ sur l'intervalle $ \left[ 0~;~1 \right] $.
Donc $ u_n \geqslant u_{ n+1 } $ et la suite $(u_n)$ est décroissante.
N.B. : On peut également calculer $ u_n = \dfrac{ 1 }{ n+1 }. $
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Soit $ \mathscr{A} $ l'aire ( en unité d'aire ) du domaine délimité par la courbe de la fonction « carré », l'axe des abscisses et les droites d'équations $ x=0 $ et $ x=1. $
$ \mathscr{A} = \dfrac{ 1 }{ 3 }. $
C'est vrai.
L'aire $ \mathscr{A}$ est égale à :
$ \mathscr{A} = \int_{0}^{1} x^2 \text{d}x $
Une primitive de la fonction $ x \longmapsto x^2 $ est la fonction $ x \longmapsto \dfrac{ x^3 }{ 3 } $ donc :
$ \mathscr{A} = \left[ \dfrac{ x^3 }{ 3 } \right] _0^1 = \dfrac{ 1 }{ 3 }. $
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C'est vrai.
Sur l'intervalle $ \left[ - 1~;~0 \right] $ :
$ t^2 \geqslant 0 $⩾0 et $ \text{e}^{ - t } \geqslant 0 $⩾0
donc $ t^2 \text{e}^{ - t } \geqslant 0 $ et par positivité de l'intégrale $ A \geqslant 0. $
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