Quiz
On lance $4$ fois un dé équilibré à six faces.
La probabilité d'obtenir au moins un « 6 » est égale à $1 - \dfrac{ 5^4 }{ 6^4 }.$
C'est vrai.
Notons $A$ l'événement « obtenir au moins un six » . L'événement contraire $ \overline{ A } $ est « n'obtenir aucun six ». Sa probabilité est :
$ p \left( \overline{ A } \right) = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix} \times \left( \dfrac{ 1 }{ 6 } \right) ^0 \times \left( \dfrac{ 5 }{ 6 } \right) ^4 = \dfrac{ 5^4 }{ 6^4 } $
La probabilité de A est donc :
$ p(A) = 1 - p( \overline{ A } )= 1 - \dfrac{ 5^4 }{ 6^4 }.$
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On tire trois fois de suite et avec remise, une boule d'un sac contenant 2 boules rouges et 3 boules noires.
Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules noires tirées.
$ p(X=1) = \dfrac{ 36 }{ 125 }. $
C'est vrai.
$X$ suit la loi binomiale $ \mathscr{B} \left( 3~; \dfrac{ 3 }{ 5 } \right) . $
$ p \left( X= 1 \right) = \begin{pmatrix} 3 \\ 1\end{pmatrix} \times \left( \dfrac{ 3 }{ 5 } \right) ^1 \times \left( \dfrac{ 2 }{ 5 } \right) ^2 $ = 3 \times \dfrac{ 3 }{ 5 } \times \dfrac{ 4 }{ 25 } = \dfrac{ 36 }{ 125 }. $3×254=12536.
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On lance $ fois un dé équilibré à six faces.
En moyenne, le nombre de « 6 » obtenus sera égal à 5.
C'est vrai.
Le nombre de « 6 » obtenus suit la loi binomiale $ \mathscr{B} \left( 30~; \dfrac{ 1 }{ 6 } \right) $
Le nombre moyen de succès est donné par l'espérance mathématique de cette variable aléatoire :
$ E(X) = np = 30 \times \dfrac{ 1 }{ 6 } = 5. $
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On lance six fois une pièce de monnaie bien équilibrée. On suppose que les lancers sont indépendants les uns des autres.
À chaque lancer, on gagne 2 euros si le résultat est « Pile » , on perd 3 euros dans le cas contraire.
On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur à l'issue des six lancers.
$X$ suit la loi binomiale $ \mathscr{B} \left( 6~; \dfrac{ 1 }{ 2 } \right). $
C'est faux.
La variable aléatoire $X$ de l'énoncé ne comptabilise pas le nombre de succès ; elle ne suit donc pas une loi binomiale.
Remarque : Une variable aléatoire qui suit une loi binomiale ne prend que des valeurs entières positives , ce qui n'est pas le cas pour le gain algébrique qui est négatif en cas de perte.
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Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $ \mathscr{B} ( 10~; 0,5) $.
$ p(X=5) = \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix} \times 0,5^{10} $
C'est vrai.
$ p \left( X= 5 \right) = \begin{pmatrix} 10 \\ 5\end{pmatrix} \times 0,5^5 \times 0,5^5 $ =\begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix} \times 0,5^{10}. $5)×0,510.
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Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale.
La variance $ V(X) $ est toujours inférieure ou égale à l'espérance $E(X).$
C'est vrai.
Pour une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale $ \mathscr{B} (n~; p)$ :
$ E(X) = np $
$V(X) = np(1 - p)=E(X) \times (1 - p) $
Comme $ 1 - p \leqslant 1 $, la variance $ V(X) $ est inférieure ou égale à l'espérance $E(X).$
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