Limites de fonctions (4)

C'est vrai.

En factorisant $x$ au numérateur et au dénominateur on trouve :

$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{x(1 - 1/\sqrt{x})}{x(1+1/\sqrt{x})} $ = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{1 - 1/\sqrt{x}}{1+1/\sqrt{x}} = 1$lim1+1/√x1−1/√x=1

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C'est vrai.

On multiplie et on divise par l'expression conjuguée $ \sqrt{x^2+1}+x $ :

$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{(\sqrt{x^2+1} - x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{(\sqrt{x^2+1}+x)}$

$=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}= 0$

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C'est faux.

Pour $x \neq 0$ :

$ - 1 \leqslant \cos x \leqslant 1$

$\dfrac{1}{3x} \leqslant \dfrac{1}{x(\cos x + 2)} \leqslant \dfrac{1}{x}$

Donc, d'après le théorème des gendarmes :

$\lim\limits_{\scriptstyle x\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{x(\cos x + 2)}= 0.$

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C'est faux.

$f$ n'admet pas de limite quand $x$ tend vers $+\infty.$

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C'est vrai.

Pour tout réel $x$

$ - 1 \leqslant \sin x$

$4 \leqslant \sin x +5 $

$4x^2 \leqslant x^2(\sin x +5)$

Or $\lim\limits_{\scriptstyle x\rightarrow +\infty}4x^2= +\infty.$ donc, d'après un théorème de comparaison :

$\lim\limits_{\scriptstyle x\rightarrow +\infty}x^2(\sin x +5)= +\infty.$

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C'est vrai.

$ x + \sin x \leqslant x+1$ Donc, d'après un théorème de comparaison :

$\lim\limits_{x \rightarrow - \infty} f(x)= - \infty.$

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