Quiz
Soit une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ telle que :
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)= +\infty$
Alors : $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} xf(x)= +\infty$
C'est vrai.
C'est un produit dont chaque facteur tend vers $ +\infty$.
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Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \backslash \{0\}$ par :
$f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x}.$
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)= 0$
C'est vrai.
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\sqrt{x}}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{x}}= 0$
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Soit la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par :
$f(x)=x - \sqrt{x}.$
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)= 0$
C'est faux.
Pour $x \geqslant 0$ : $f(x)=\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)$ donc :
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)= +\infty$
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C'est faux.
$\lim\limits_{x \rightarrow 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}= \lim\limits_{x \rightarrow 1} \dfrac{(x - 1)(x+1)}{x - 1}$ \lim\limits_{x \rightarrow 1} (x+1)=2$lim(x+1)=2
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C'est faux.
Le numérateur est positif et le dénominateur tend vers $ 0 $ en étant négatif donc :
$\lim\limits_{\scriptstyle x\rightarrow 1 \atop\scriptstyle x < 1}\dfrac{x+1}{x - 1}= - \infty$x→1limx−1x+1=−∞
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C'est faux.
Pour $ > 0$ :
$ - \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{\sin x}{x} \leqslant \dfrac{1}{x}$1⩽xsinx⩽x1 Donc, d'après le théorème des gendarmes :
$ x\rightarrow +\infty}\dfrac{\sin x}{x}= 0.$limxsinx=0.
N.B. : C'est lorsque $ x $ tend vers $ 0 $ que $\dfrac{\sin x}{x}$sinx tend vers $ 1. $
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