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C'est vrai.
En effet :
$ A = \ln \left( \dfrac{ 2 }{ 3 } \right) + \ln (3) = \ln (2) - \ln (3) + \ln (3) = \ln (2) $
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$ \ln \left( \text{e}^{ 2 } \right) + \ln \left( \sqrt{ \text{e} } \right) = \dfrac{ 5 }{ 2 } $
C'est vrai.
$ \ln \left( \text{e}^{ 2 } \right) = 2 \ln ( \text{e}) = 2 $
$ \ln \left( \sqrt{ \text{e} } \right) = \dfrac{ 1 }{ 2 } \ln ( \text{e}) = \dfrac{ 1 }{ 2 } $
donc :
$ \ln \left( \text{e}^{ 2 } \right) + \ln \left( \sqrt{ \text{e} } \right) = 2 + \dfrac{ 1 }{ 2 } = \dfrac{ 5 }{ 2 } $
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Soit $f$ la fonction définie sur $ \left] 0~;~ +\infty \right[ $ par $ f(x)= \ln(x^2 \text{e}^{ x } ) $
Pour tout réel $ x > 0 $, $ f(x)= 2 \ln (x) + 1 $
C'est faux.
Pour tout réel $ x > 0 $ :
$ \ln(x^2 \text{e}^{ x } ) = \ln(x^2) + \ln ( \text{e}^{ x } ) = 2 \ln (x) + x $
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C'est faux.
Il n'existe pas de formule pour $ \ln \left( a+b \right) $.
La formule proposée est fausse car, par exemple, pour $x = 0$ :
$ \ln \left( \text{e}^{ 0 } + \text{e}^{ - 0 } \right) = \ln \left( 2 \right) \neq 0 $
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Soit le réel :
$ A = \ln \left( \dfrac{ 1 }{ 4 } \right) - \ln \left( \dfrac{ 1 }{ 2 } \right) $
$ A = - \ln \left( 2 \right) $
C'est vrai.
$ A = \ln \left( \dfrac{ 1 }{ 4 } \right) - \ln \left( \dfrac{ 1 }{ 2 } \right) = - \ln (4) + \ln(2) = - 2 \ln (2) + \ln (2) = - \ln (2) $
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C'est vrai.
Pour tout réel $x>0$ :
$ \ln (2x^2) = \ln (2) + \ln(x^2) = \ln (2) + 2 \ln(x) $
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