Limites du type «k/0»
Situation
On cherche à calculer la limite d'une fraction rationnelle lorsque$ x $ tend vers une valeur $ a $ qui annule le dénominateur; par exemple $ \lim\limits_{x\rightarrow 1} \dfrac{x+2}{x^{2} - 1}. $
Méthode
- Si on a affaire à une limite du type « $ \dfrac{0}{0} $ » (forme indéterminée), on lève l'indétermination en factorisant le numérateur et le dénominateur puis en simplifiant la fraction
- Si on a affaire à une limite du type « $ \dfrac{k}{0} $ » avec $ k \neq 0 $:
- on distingue les limites à gauche et à droite :
$ \lim\limits_{x\rightarrow a^ - } f\left(x\right) $ et $ \lim\limits_{x\rightarrow a^+} f\left(x\right) $ - les limites seront égales à $ +\infty $ ou $ - \infty $
- pour déterminer le signe de la limite on étudie le signe du quotient. On peut toutefois se limiter à l'étude de signe au voisinage de $ a $ (voir exemple 3)
Exemple
Calculer $ \lim\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{x^{2} - 3x+2}{x^{2} - 4} $
En remplaçant $ x $ par 2 dans la fraction rationnelle on obtient « $ \dfrac{0}{0} $ ».
On lève l'indétermination en simplifiant la fraction.
2 est racine de $ x^{2} - 3x+2 $ comme on vient de le voir. Le produit des racines vaut $ \dfrac{c}{a}=2 $ donc l'autre racine est 1 (on peut, si l'on préfère, calculer le discriminant puis les racines, mais c'est plus long…).
$ x^{2} - 3x+2 $ peut donc se factoriser sous la forme $ \left(x - 1\right)\left(x - 2\right) $.
$ x^{2} - 4=\left(x - 2\right)\left(x+2\right) $ (identité remarquable)
Donc :
$ \lim\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{x^{2} - 3x+2}{x^{2} - 4} = \lim\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{\left(x - 1\right)\left(x - 2\right)}{\left(x - 2\right)\left(x+2\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{x - 1}{x+2} = \dfrac{1}{4} $
Exemple
Calculer $ \lim\limits_{x\rightarrow - 1} \dfrac{2}{1+x} $
En remplaçant $ x $ par -1 dans la fraction rationnelle on obtient « $ \dfrac{2}{0} $ ».
La limite est donc infinie.
Pour l'étude du signe on distingue les limites à gauche et à droite.
Le numérateur est toujours positif.
- si $ x < - 1 $, $ 1+x $ est strictement négatif
- si $ x > - 1 $, $ 1+x $ est strictement positif donc :
$ \lim\limits_{x\rightarrow - 1^ - } \dfrac{2}{1+x}= - \infty $
$ \lim\limits_{x\rightarrow - 1^+} \dfrac{2}{1+x}=+\infty $
Exemple
Calculer $ \lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{x^{3}+x - 3}{x^{2} - x} $
En «remplaçant $ x $ par 0» dans la fraction rationnelle on obtient «$ - \dfrac{3}{0} $».
La limite sera donc infinie. On distingue les limites à gauche et à droite.
Il n'est pas facile de factoriser le numérateur qui est du troisième degré. Heureusement, cela ne sera pas nécessaire ici !
On ne va pas construire le tableau de signes sur $ \mathbb{R} $ tout entier mais seulement au voisinage de zéro.
Si $ x $ est proche de zéro le numérateur sera proche de $ - 3 $ donc négatif.
Le dénominateur se factorise $ x^{2} - x=x\left(x - 1\right) $ et $ x - 1 $ est proche de $ - 1 $ (donc négatif) lorsque $ x $ est proche de 0.
On obtient alors le tableau de signe au voisinage de $ 0 $ :
Donc :
$ \lim\limits_{x\rightarrow 0^ - }\dfrac{x^{3}+x - 3}{x^{2} - x}= - \infty $
$ \lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{x^{3}+x - 3}{x^{2} - x}=+\infty $
Remarque
Une petite astuce pour vérifier votre résultat à la calculatrice.
Pour avoir une idée de la valeur de $ \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right) $, donnez à $ x $ des valeurs proches de $ a $ et calculer $ f\left(x\right) $
Par exemple, pour l'exemple 3, on saisit la fonction $ x\mapsto \dfrac{x^{3}+x - 3}{x^{2} - x} $ et on calcule :
$ f\left( - 0,0000000001\right)\approx - 3\times 10^{10} $
$ f\left(0,0000000001\right)\approx 3\times 10^{10} $
ce qui confirme les valeurs ( et surtout les signes ! ) que nous avons trouvées ($ - \infty $ et $ +\infty $).