Situation
On cherche à calculer la limite d’une fraction rationnelle lorsque$x$ tend vers une valeur $a$ qui annule le dénominateur; par exemple $\lim\limits_{x\rightarrow 1} \dfrac{x+2}{x^{2} – 1}. $
Méthode
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Si on a affaire à une limite du type « $\dfrac{0}{0}$ » (forme indéterminée), on lève l’indétermination en factorisant le numérateur et le dénominateur puis en simplifiant la fraction
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Si on a affaire à une limite du type « $\dfrac{k}{0}$ » avec $k \neq 0$:
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on distingue les limites à gauche et à droite :
$\lim\limits_{x\rightarrow a^ – } f\left(x\right)$ et $\lim\limits_{x\rightarrow a^+} f\left(x\right)$
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les limites seront égales à $+\infty $ ou $ – \infty $
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pour déterminer le signe de la limite on étudie le signe du quotient. On peut toutefois se limiter à l’étude de signe au voisinage de $a$ (voir exemple 3)
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Exemple 1
Calculer $\lim\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{x^{2} – 3x+2}{x^{2} – 4}$
En remplaçant $x$ par 2 dans la fraction rationnelle on obtient « $\dfrac{0}{0}$ ».
On lève l’indétermination en simplifiant la fraction.
2 est racine de $x^{2} – 3x+2$ comme on vient de le voir. Le produit des racines vaut $\dfrac{c}{a}=2$ donc l’autre racine est 1 (on peut, si l’on préfère, calculer le discriminant puis les racines, mais c’est plus long…).
$x^{2} – 3x+2$ peut donc se factoriser sous la forme $\left(x – 1\right)\left(x – 2\right)$.
$x^{2} – 4=\left(x – 2\right)\left(x+2\right)$ (identité remarquable)
Donc :
$\lim\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{x^{2} – 3x+2}{x^{2} – 4} = \lim\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{\left(x – 1\right)\left(x – 2\right)}{\left(x – 2\right)\left(x+2\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{x – 1}{x+2} = \dfrac{1}{4}$
Exemple 2
Calculer $\lim\limits_{x\rightarrow – 1} \dfrac{2}{1+x}$
En remplaçant $x$ par -1 dans la fraction rationnelle on obtient « $\dfrac{2}{0}$ ».
La limite est donc infinie.
Pour l’étude du signe on distingue les limites à gauche et à droite.
Le numérateur est toujours positif.
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si $x < - 1$, $1+x$ est strictement négatif
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si $x > – 1$, $1+x$ est strictement positif donc :
$\lim\limits_{x\rightarrow – 1^ – } \dfrac{2}{1+x}= – \infty $
$\lim\limits_{x\rightarrow – 1^+} \dfrac{2}{1+x}=+\infty $
Exemple 3
Calculer $\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{x^{3}+x – 3}{x^{2} – x}$
En «remplaçant $x$ par 0» dans la fraction rationnelle on obtient «$ – \dfrac{3}{0}$».
La limite sera donc infinie. On distingue les limites à gauche et à droite.
Il n’est pas facile de factoriser le numérateur qui est du troisième degré. Heureusement, cela ne sera pas nécessaire ici !
On ne va pas construire le tableau de signes sur $\mathbb{R}$ tout entier mais seulement au voisinage de zéro.
Si $x$ est proche de zéro le numérateur sera proche de $ – 3$ donc négatif.
Le dénominateur se factorise $x^{2} – x=x\left(x – 1\right)$ et $x – 1$ est proche de $ – 1$ (donc négatif) lorsque $x$ est proche de 0.
On obtient alors le tableau de signe au voisinage de $0$ :
Donc :
$\lim\limits_{x\rightarrow 0^ – }\dfrac{x^{3}+x – 3}{x^{2} – x}= – \infty $
$\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{x^{3}+x – 3}{x^{2} – x}=+\infty $
Remarque
Une petite astuce pour vérifier votre résultat à la calculatrice.
Pour avoir une idée de la valeur de $\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)$, donnez à $x$ des valeurs proches de $a$ et calculer $f\left(x\right)$
Par exemple, pour l’exemple 3, on saisit la fonction $x\mapsto \dfrac{x^{3}+x – 3}{x^{2} – x}$ et on calcule :
$f\left( – 0,0000000001\right)\approx – 3\times 10^{10}$
$f\left(0,0000000001\right)\approx 3\times 10^{10}$
ce qui confirme les valeurs ( et surtout les signes ! ) que nous avons trouvées ($ – \infty $ et $+\infty $).