Méthode
On cherche à calculer une limite du type $\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f\left(x\right) – f\left(a\right)}{x – a}$
C’est une forme indéterminée du type «$\dfrac{0}{0}$»
Pour lever l’indétermination, on utilise la définition du nombre dérivé qui donne :
$\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f\left(x\right) – f\left(a\right)}{x – a}=f^{\prime}\left(a\right)$
Il suffit donc de calculer $f^{\prime}\left(x\right)$ puis de remplacer $x$ par $a$ pour obtenir $f^{\prime}\left(a\right)$
Exemple 1
Soit $n$ un entier strictement positif.
Calculer $\lim\limits_{x\rightarrow 1} \dfrac{x^{n} – 1}{x – 1}$.
On pose $f\left(x\right)=x^{n}$.
On a alors $f\left(1\right)=1$
La limite cherchée correspond donc à $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{f\left(x\right) – f\left(1\right)}{x – 1}$ et vaut par conséquent $f^{\prime}\left(1\right)$.
Or $f^{\prime}\left(x\right)=nx^{n – 1}$ dnc $f^{\prime}\left(1\right)=n\times 1^{n – 1}=n$
En conclusion : $\lim\limits_{x\rightarrow 1} \dfrac{x^{n} – 1}{x – 1}=n$
Exemple 2
On veut calculer $\lim\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{\sqrt{x+2} – 2}{x – 2}$
On a une forme indéterminée du type «$\dfrac{0}{0}$»
Posons $f\left(x\right)=\sqrt{x+2}$ pour $x\geqslant – 2$
On a $f\left(2\right)=\sqrt{4}=2$
La limite est cherchée est donc :
$\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{f\left(x\right) – f\left(2\right)}{x – 2}=f^{\prime}\left(2\right)$
Pour calculer $f^{\prime}$ on applique la formule $\left(\sqrt{u}\right)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}}{2\sqrt{u}}$ :
$f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+2}}$
Donc $f^{\prime}\left(2\right)=\dfrac{1}{4}$
Finalement : $\lim\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{\sqrt{x+2} – 2}{x – 2}=\dfrac{1}{4}$
Exemple 3
(Cet exemple suppose que l’on a étudié le chapitre sur les fonctions trigonométriques)
On veut calculer $\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{\cos x – 1}{x}$
On a, là encore une forme indéterminée du type «$\dfrac{0}{0}$»
On pose $f\left(x\right)=\cos x$
La limite est cherchée est alors :
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{f\left(x\right) – f\left(0\right)}{x – 0}=f^{\prime}\left(0\right)= – \sin 0=0$