Calculer une limite à l’aide du nombre dérivé
Méthode
On cherche à calculer une limite du type $ \lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f\left(x\right) - f\left(a\right)}{x - a} $
C'est une forme indéterminée du type «$ \dfrac{0}{0} $»
Pour lever l'indétermination, on utilise la définition du nombre dérivé qui donne :
$ \lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f\left(x\right) - f\left(a\right)}{x - a}=f^{\prime}\left(a\right) $
Il suffit donc de calculer $ f^{\prime}\left(x\right) $ puis de remplacer $ x $ par $ a $ pour obtenir $ f^{\prime}\left(a\right) $
Exemple
Soit $ n $ un entier strictement positif.
Calculer $ \lim\limits_{x\rightarrow 1} \dfrac{x^{n} - 1}{x - 1} $.
On pose $ f\left(x\right)=x^{n} $.
On a alors $ f\left(1\right)=1 $
La limite cherchée correspond donc à $ \lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{f\left(x\right) - f\left(1\right)}{x - 1} $ et vaut par conséquent $ f^{\prime}\left(1\right) $.
Or $ f^{\prime}\left(x\right)=nx^{n - 1} $ dnc $ f^{\prime}\left(1\right)=n\times 1^{n - 1}=n $
En conclusion : $ \lim\limits_{x\rightarrow 1} \dfrac{x^{n} - 1}{x - 1}=n $
Exemple
On veut calculer $ \lim\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{\sqrt{x+2} - 2}{x - 2} $
On a une forme indéterminée du type «$ \dfrac{0}{0} $»
Posons $ f\left(x\right)=\sqrt{x+2} $ pour $ x\geqslant - 2 $
On a $ f\left(2\right)=\sqrt{4}=2 $
La limite est cherchée est donc :
$ \lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{f\left(x\right) - f\left(2\right)}{x - 2}=f^{\prime}\left(2\right) $
Pour calculer $ f^{\prime} $ on applique la formule $ \left(\sqrt{u}\right)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}}{2\sqrt{u}} $ :
$ f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+2}} $
Donc $ f^{\prime}\left(2\right)=\dfrac{1}{4} $
Finalement : $ \lim\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{\sqrt{x+2} - 2}{x - 2}=\dfrac{1}{4} $
Exemple
(Cet exemple suppose que l'on a étudié le chapitre sur les fonctions trigonométriques)
On veut calculer $ \lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{\cos x - 1}{x} $
On a, là encore une forme indéterminée du type «$ \dfrac{0}{0} $»
On pose $ f\left(x\right)=\cos x $
La limite est cherchée est alors :
$ \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{f\left(x\right) - f\left(0\right)}{x - 0}=f^{\prime}\left(0\right)= - \sin 0=0 $