Vrai/Faux : Convergence d’une suite
Pour chacune des questions indiquer si l'affirmation est exacte en justifiant la réponse.
- Si l'affirmation est exacte, vous devez la démontrer
- Si l'affirmation est fausse, vous devez donner un contre-exemple
- Si $ \left(u_{n}\right) $ et $ \left(v_{n}\right) $ sont des suites dont tous les termes sont positifs et si la suite $ \left(u_{n}\right) $ diverge vers $ +\infty $, alors la suite de terme général $ u_{n}+v_{n} $ diverge vers $ +\infty $.
- Si la suite $ \left(u_{n}\right) $ diverge vers $ +\infty $, alors elle est croissante à partir d'un certain rang.
- Soient trois suites numériques $ \left(u_{n}\right), \left(v_{n}\right) $ et $ \left(w_{n}\right) $.
Si les suites $ \left(u_{n}\right) $ et $ \left(v_{n}\right) $ convergent respectivement vers $ l $ et $ l^{\prime} $ et si pour tout $ n \in \mathbb{N} $ $ u_{n} \leqslant w_{n} \leqslant v_{n} $ alors la suite $ w_{n} $ converge et sa limite est comprise entre $ l $ et $ l^{\prime} $. - Si la suite $ \left(u_{n}\right) $ n'est pas majorée, elle diverge nécessairement vers $ +\infty $.
Corrigé
- Vrai
Du fait que pour tout entier naturel $ n $ $ v_{n} \geqslant 0 $ on en déduit que $ u_{n}+v_{n} \geqslant u_{n} $.
Comme $ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=+\infty $ on en déduit $ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n}+v_{n}=+\infty $ (voir Théorème). Faux
Considérons par exemple la suite $ \left(u_{n}\right) $ définie par $ u_{n}=n+\left( - 1\right)^{n} $
On a $ \left( - 1\right)^{n} \geqslant - 1 $ (car $ \left( - 1\right)^{n} $ vaut $ - 1 $ ou $ 1 $)
$ n+\left( - 1\right)^{n} \geqslant n - 1 $
$ u_{n} \geqslant n - 1 $
Comme $ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }n - 1=+\infty $, $ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=+\infty $
Mais la suite $ \left(u_{n}\right) $ n'est pas croissante (même à partir d'un certain rang) car si $ n $ est pair :
$ u_{n}=n+\left( - 1\right)^{n}=n+1 $
$ u_{n+1}=n+1+\left( - 1\right)^{n+1}=n+1 - 1=n $ (en effet $ n+1 $ est impair donc $ \left( - 1\right)^{n+1}= - 1 $)
Par conséquent :
$ u_{n+1} - u_{n} =n - \left(n+1\right)= - 1 < 0 $
La représentation graphique de la suite ci-dessous devrait aider à comprendre le raisonnement :
[i]Suite divergente vers
$ +\infty $mais non croissante[/i]
- Faux
Il suffit de prendre pour $ u $ et $ v $ les suites constantes :
$ u_{n}= - 1 $ pour tout $ n \in \mathbb{N} $
$ v_{n}=+1 $ pour tout $ n \in \mathbb{N} $
et pour $ w $ :
$ w_{n}=\left( - 1\right)^{n} $ pour tout $ n \in \mathbb{N} $
$ \left(u_{n}\right) $ et $ \left(v_{n}\right) $ convergent respectivement vers $ - 1 $ et $ 1 $ mais $ \left(w_{n}\right) $ ne converge pas.
Remarques :
♦ Par contre si $ w $ convergeait, on pourrait effectivement dire que sa limite est comprise entre les limites de $ u $ et de $ v $.
♦ On ne peut pas appliquer le théorème des gendarmes ici car le théorème des gendarmes suppose que $ u $ et $ v $ aient la même limite. - Faux
La suite $ \left(u_{n}\right) $ définie par $ u_{n}=\left( - 1\right)^{n}\times n $ n'est pas majorée car pour $ n $ pair $ u_{n}=n $.
Par contre, elle ne diverge pas vers $ +\infty $ car pour $ n $ impair $ u_{n}= - n $ est négatif.
[i]Suite non majorée mais ne tendant pas vers
[/i]