Pour chacune des questions indiquer si l’affirmation est exacte en justifiant la réponse.
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Si l’affirmation est exacte, vous devez la démontrer
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Si l’affirmation est fausse, vous devez donner un contre-exemple
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Si $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont des suites dont tous les termes sont positifs et si la suite $\left(u_{n}\right)$ diverge vers $+\infty$, alors la suite de terme général $u_{n}+v_{n}$ diverge vers $+\infty$.
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Si la suite $\left(u_{n}\right)$ diverge vers $+\infty$, alors elle est croissante à partir d’un certain rang.
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Soient trois suites numériques $\left(u_{n}\right), \left(v_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$.
Si les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ convergent respectivement vers $l$ et $l^{\prime}$ et si pour tout $n \in \mathbb{N}$ $u_{n} \leqslant w_{n} \leqslant v_{n}$ alors la suite $w_{n}$ converge et sa limite est comprise entre $l$ et $l^{\prime}$.
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Si la suite $\left(u_{n}\right)$ n’est pas majorée, elle diverge nécessairement vers $+\infty$.
Corrigé
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Vrai
Du fait que pour tout entier naturel $n$ $v_{n} \geqslant 0$ on en déduit que $u_{n}+v_{n} \geqslant u_{n}$.
Comme $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=+\infty$ on en déduit $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n}+v_{n}=+\infty$ (voir Théorème).
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Faux
Considérons par exemple la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{n}=n+\left( – 1\right)^{n}$
On a $\left( – 1\right)^{n} \geqslant – 1$ (car $\left( – 1\right)^{n}$ vaut $- 1$ ou $1$)
$n+\left( – 1\right)^{n} \geqslant n – 1$
$u_{n} \geqslant n – 1$
Comme $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }n – 1=+\infty$, $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=+\infty$
Mais la suite $\left(u_{n}\right)$ n’est pas croissante (même à partir d’un certain rang) car si $n$ est pair :
$u_{n}=n+\left( – 1\right)^{n}=n+1$
$u_{n+1}=n+1+\left( – 1\right)^{n+1}=n+1 – 1=n$ (en effet $n+1$ est impair donc $\left( – 1\right)^{n+1}= – 1$)
Par conséquent :
$u_{n+1} – u_{n} =n – \left(n+1\right)= – 1 < 0$
La représentation graphique de la suite ci-dessous devrait aider à comprendre le raisonnement :
Suite divergente vers $+\infty$ mais non croissante
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Faux
Il suffit de prendre pour $u$ et $v$ les suites constantes :
$u_{n}= – 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$
$v_{n}=+1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$
et pour $w$ :
$w_{n}=\left( – 1\right)^{n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$
$\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ convergent respectivement vers $- 1$ et $1$ mais $\left(w_{n}\right)$ ne converge pas.
Remarques :
♦ Par contre si $w$ convergeait, on pourrait effectivement dire que sa limite est comprise entre les limites de $u$ et de $v$.
♦ On ne peut pas appliquer le théorème des gendarmes ici car le théorème des gendarmes suppose que $u$ et $v$ aient la même limite.
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Faux
La suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{n}=\left( – 1\right)^{n}\times n$ n’est pas majorée car pour $n$ pair $u_{n}=n$.
Par contre, elle ne diverge pas vers $+\infty$ car pour $n$ impair $u_{n}= – n$ est négatif.
Suite non majorée mais ne tendant pas vers $+\infty$