Suite – Etude des variations – Convergence

$u_{1}=\dfrac{1}{3}\left(1^{2}+1\right)=\dfrac{2}{3}$

$u_{2}=\dfrac{1}{3}\left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}+1\right)=\dfrac{13}{27}$

$u_{3}=\dfrac{1}{3}\left(\left(\dfrac{13}{27}\right)^{2}+1\right)=\dfrac{898}{2187}$

$u_{1}\approx 0,67, u_{2}\approx 0,48, u_{3}\approx 0,41$. La suite $\left(u_{n}\right)$ semble décroissante.

Montrons par récurrence que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante c’est à dire que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}\leqslant u_{n}$

Initialisation

D’aprés la question 1, $u_{1}=\dfrac{2}{3}$ donc $u_{1}\leqslant u_{0}$

La proposition est donc vraie pour $n=0$

Hérédité

On suppose que $u_{n+1}\leqslant u_{n}$ pour un certain entier $n$ et on va montrer qu’alors $u_{n+2} \leqslant u_{n+1}$

Remarquons tout d’abord que $u_{0}$ est positif et que la formule $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}\left(u_{n}^{2}+1\right)$ montre que tous les autres termes de la suite sont également positifs.

$u_{n+1} \leqslant u_{n} \Rightarrow u_{n+1}^{2} \leqslant u_{n}^{2}$ car la fonction $x\mapsto x^{2}$ est croissante sur $\left[0;+\infty \right[$

$u_{n+1}\leqslant u_{n} \Rightarrow u_{n+1}^{2}+1 \leqslant u_{n}^{2}+1$

$u_{n+1}\leqslant u_{n} \Rightarrow \dfrac{1}{3}\left(u_{n+1}^{2}+1\right) \leqslant \dfrac{1}{3}\left(u_{n}^{2}+1\right)$

$u_{n+1}\leqslant u_{n} \Rightarrow u_{n+2} \leqslant u_{n+1}$

Conclusion

Pour tout entier $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}\leqslant u_{n}$ donc la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.

Remarque : Ici le calcul de $u_{n+1} – u_{n}$ (en vue de montrer que la suite est décroissante) n’aboutit pas à un résultat facilement exploitable.

On a vu que les termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ étaient positifs donc la suite $\left(u_{n}\right)$ est minorée par zéro.

Comme elle est également décroissante d’après la question précédente, la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.(voir théorème)