Logo maths-cours.fr
Logo maths-cours.fr
Connexion Inscription
edit_note Exercices 15 min
Non commencé

Suite – Etude des variations – Convergence

Soit la suite $ \left(u_{n}\right) $ définie par $ u_{0}=1 $ et pour tout entier $ n \in \mathbb{N} $, $ u_{n+1}=\dfrac{1}{3}\left(u_{n}^{2}+1\right) $

  1. Calculer $ u_{1} $, $ u_{2} $, $ u_{3} $. Quelle conjecture peut-on faire sur le sens de variation de $ \left(u_{n}\right) $?
  2. Démontrer cette conjecture par récurrence.
  3. La suite $ \left(u_{n}\right) $ est elle convergente ?

Corrigé

  1. $ u_{1}=\dfrac{1}{3}\left(1^{2}+1\right)=\dfrac{2}{3} $

    $ u_{2}=\dfrac{1}{3}\left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}+1\right)=\dfrac{13}{27} $

    $ u_{3}=\dfrac{1}{3}\left(\left(\dfrac{13}{27}\right)^{2}+1\right)=\dfrac{898}{2187} $

    $ u_{1}\approx 0,67, u_{2}\approx 0,48, u_{3}\approx 0,41 $. La suite $ \left(u_{n}\right) $ semble décroissante.
  2. Montrons par récurrence que la suite $ \left(u_{n}\right) $ est décroissante c'est à dire que pour tout $ n \in \mathbb{N} $, $ u_{n+1}\leqslant u_{n} $

    Initialisation
    D'aprés la question 1, $ u_{1}=\dfrac{2}{3} $ donc $ u_{1}\leqslant u_{0} $

    La proposition est donc vraie pour $ n=0 $

    Hérédité
    On suppose que $ u_{n+1}\leqslant u_{n} $ pour un certain entier $ n $ et on va montrer qu'alors $ u_{n+2} \leqslant u_{n+1} $

    Remarquons tout d'abord que $ u_{0} $ est positif et que la formule $ u_{n+1}=\dfrac{1}{3}\left(u_{n}^{2}+1\right) $ montre que tous les autres termes de la suite sont également positifs.

    $ u_{n+1} \leqslant u_{n} \Rightarrow u_{n+1}^{2} \leqslant u_{n}^{2} $ car la fonction $ x\mapsto x^{2} $ est croissante sur $ \left[0;+\infty \right[ $

    $ u_{n+1}\leqslant u_{n} \Rightarrow u_{n+1}^{2}+1 \leqslant u_{n}^{2}+1 $

    $ u_{n+1}\leqslant u_{n} \Rightarrow \dfrac{1}{3}\left(u_{n+1}^{2}+1\right) \leqslant \dfrac{1}{3}\left(u_{n}^{2}+1\right) $

    $ u_{n+1}\leqslant u_{n} \Rightarrow u_{n+2} \leqslant u_{n+1} $

    Conclusion
    Pour tout entier $ n \in \mathbb{N} $, $ u_{n+1}\leqslant u_{n} $ donc la suite $ \left(u_{n}\right) $ est décroissante.

    Remarque :Ici le calcul de $ u_{n+1} - u_{n} $ (en vue de montrer que la suite est décroissante) n'aboutit pas à un résultat facilement exploitable.
  3. On a vu que les termes de la suite $ \left(u_{n}\right) $ étaient positifs donc la suite $ \left(u_{n}\right) $ est minorée par zéro.

    Comme elle est également décroissante d'après la question précédente, la suite $ \left(u_{n}\right) $ est convergente.(voir théorème)