Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $I=[ – 4\ ; \ 4]$ par $f(x)=x^3 – 6x+1$.
Partie I
-
Justifier que $f$ est dérivable sur $I$ et calculer $f^{\prime}(x)$ pour $x$ appartenant à $I$.
-
Tracer le tableau de variations de $f$.
-
Montrer que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0~;~1]$.
Partie II
-
On souhaite déterminer une valeur approchée de $\alpha$ grâce à l’algorithme de dichotomie suivant :
Variables $a, b, m, h$ sont des nombres Initialisation Lire $a$ Lire $b$ Lire $h$ Traitement Tant que $b – a > h$ : $\quad$Affecter à $m$ la valeur $\dfrac{a+b}{2}$ $\quad$Si $f(a) \times f(m) > 0$, alors $\quad \quad$Affecter à $a$ la valeur $m$ $\quad$Sinon $\quad \quad$Affecter à $b$ la valeur $m$ $\quad$Fin Si Fin Tant que Sortie Afficher $a$ Afficher $b$ Compléter le tableau suivant obtenu pour la fonction $f$ définie ci-dessus et les valeurs $a=0;\ b=1;\ h=0,1$ (on ajoutera autant de lignes que nécessaire).
$a$ $b$ $h$ $b – a > h$ $m$ $f(a) \times f(m) > 0$ 0 1 0,1 vrai 0,5 faux 0 0,5 … … … … … … … … … … -
Quelles valeurs obtient-on en sortie de cet algorithme ? Que représentent ces valeurs ?
-
Que représentent chacun des nombres $a, b, m, h$ dans cet algorithme ?
ERRATUM : ligne 6, lire $f^{\prime}(x)=\cdots=3(x+\sqrt{2})(x – \sqrt{2})$ au lieu de $f^{\prime}(x)=\cdots=3(x+\sqrt{2})(3 – \sqrt{2})$