Exercices
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Théorème des valeurs intermédiaires
Montrer que l'équation :
$ \dfrac{2x+3}{x+1}=x^2 $admet une unique solution sur l'intervalle $ [1;2] $
- À l'aide d'une calculatrice donner une valeur approchée de cette solution à $ 10^{ - 3} $ près
Corrigé
L'équation $\dfrac{2x+3}{x+1}=x^2$ équivaut à $\dfrac{2x+3}{x+1}-x^2=0$
Posons $f(x) = \dfrac{2x+3}{x+1}-x^2$.
Puisque $(x+1) \neq 0$ pour tout $x$ de $I$, $f$ est définie et continue sur $I$.
$ f'(x) = \dfrac{2(x+1) - (2x+3)}{(x+1)^2} - 2x = \dfrac{-1}{(x+1)^2} - 2x $$f'(x)$ est strictement négative sur $[1 ; 2]$ comme somme de deux fonctions strictement négatives.
Par ailleurs, $f(1) = \dfrac{3}{2}$ ; $f(2) = -\dfrac{5}{3}$.
On en déduit le tableau de variations de $f$ sur $I$ :
Donc $f$ est continue, strictement décroissante sur $[1 ; 2]$ et change de signe sur cet intervalle.
L'équation $\dfrac{2x+3}{x+1}=x^2$ admet donc une unique solution sur $I$.- Une valeur approchée à $10^{-3}$ près de cette solution est $1,547$.
(Solution rédigée par Paki)