Sujet 0 – Probabilités

1. 

2. La probabilité que le candidat réponde correctement aux deux questions est :

   $ P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) $

   Substituons les valeurs :

   $ P(A \cap B) = 0,8 \times 0,6 = 0,48 $

3. Pour trouver $ P(B) $, nous utilisons la formule des probabilités totales :

   $ P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap \bar{A}) $
   $ P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\bar{A}) \times P_{\bar{A}}(B) $

   Substituons les valeurs :

   $ P(B) = 0,8 \times 0,6 + 0,2 \times 0,1 = 0,48 + 0,02 = 0,5 $

4. Pour $ X_1 $, la probabilité que le candidat obtienne 1 point est $ P(A) $, et 0 point est $ P(\bar{A}) $ :

   $ E(X_1) = 1 \times P(A) + 0 \times P(\bar{A}) = 1 \times 0,8 + 0 \times 0,2 = 0,8 $

   Pour $ X_2 $, la probabilité que le candidat obtienne 1 point est $ P(B) $, et 0 point est $ P(\bar{B}) $ :

   $ E(X_2) = 1 \times P(B) + 0 \times P(\bar{B}) = 1 \times 0,5 + 0 \times 0,5 = 0,5 $

   L’espérance de $ X = X_1 + X_2 $ est :

   $ E(X) = E(X_1) + E(X_2) = 0,8 + 0,5 = 1,3 $

   Interprétation : En moyenne, un candidat obtient une note de 1,3 points sur 2 à l’exercice.

5. 1. $ P(X = 0) $ est la probabilité que le candidat échoue aux deux questions :

      $ P(X = 0) = P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}|\bar{A}) = 0,2 \times 0,9 = 0,18 $

      $ P(X = 2) $ est la probabilité que le candidat réussisse les deux questions :

      $ P(X = 2) = P(A \cap B) = 0,48 $

      $ P(X = 1) $ est la probabilité que le candidat réussisse une question et échoue à l'autre.

      $ P(X = 1) = 1 - P(X = 0) - P(X = 2) $
      $ P(X = 1) = 1 - 0,18 - 0,48 = 0,34 $

   2. La variance de $ X $ se calcule à partir de la formule :

      $ V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $

      Calculons $ E(X^2) $ :

      $ E(X^2) = 0^2 \times P(X = 0) + 1^2 \times P(X = 1) + 2^2 \times P(X = 2) $
      $ E(X^2) = 0 \times 0,18 + 1 \times 0,34 + 4 \times 0,48 $
      $ E(X^2) = 0 + 0,34 + 1,92 = 2,26 $

      Sachant que $ E(X) = 1,3 $, calculons $ [E(X)]^2 $ :

      $ [E(X)]^2 = 1,3^2 = 1,69 $

      Enfin, calculons $ V(X) $ :

      $ V(X) = 2,26 - 1,69 = 0,57 $

   3. Calculons les variances de $ X_1 $ et $ X_2 $.

      Variance de $ X_1 $ :

      $ V(X_1) = E(X_1^2) - [E(X_1)]^2 $

      Sachant que $ X_1 $ ne peut prendre que les valeurs 0 et 1 :

      $ E(X_1^2) = 0^2 \times P(X_1 = 0) + 1^2 \times P(X_1 = 1) = 0 \times 0,2 + 1 \times 0,8 = 0,8 $
      $ [E(X_1)]^2 = 0,8^2 = 0,64 $
      $ V(X_1) = 0,8 - 0,64 = 0,16 $

      Variance de $ X_2 $ :

      $ V(X_2) = E(X_2^2) - [E(X_2)]^2 $

      Sachant que $ X_2 $ ne peut prendre que les valeurs 0 et 1 :

      $ E(X_2^2) = 0^2 \times P(X_2 = 0) + 1^2 \times P(X_2 = 1) = 0 \times 0,5 + 1 \times 0,5 = 0,5 $
      $ [E(X_2)]^2 = 0,5^2 = 0,25 $
      $ V(X_2) = 0,5 - 0,25 = 0,25 $

      On remarque que $ V(X) \neq V(X_1) + V(X_2) $ ce qui est logique et signifie que les variables aléatoires $ X_1 $ et $ X_2 $ ne sont pas indépendantes.

Partie II

1. Pour qu'une variable aléatoire suive une loi binomiale, les conditions suivantes doivent être satisfaites :

   • Il y a un nombre fixe d'essais indépendants, noté $ n $. Chaque essai a deux issues possibles : succès (bonne réponse) ou échec (mauvaise réponse ou absence de réponse).
   • Les essais sont identiques et indépendants.
   • La variable aléatoire comptabilise le nombre de succès

   Dans notre cas :

   • Le nombre de questions est $ n = 8 $, donc il y a 8 essais.et chaque question a deux issues possibles : une bonne réponse (succès) ou une mauvaise réponse/absence de réponse (échec).
     La probabilité de succès (répondre correctement) est $ p = \dfrac{3}{4} $.
   • Les questions sont indépendantes.
   • La note comptabilise le nombre de succès

   Ainsi, $ Y $ suit une loi binomiale de paramètres $ n = 8 $ et $ p = \dfrac{3}{4} $.

2. La probabilité que le candidat réponde correctement à toutes les 8 questions (c'est-à-dire que $ Y = 8 $) est donnée par la formule de la loi binomiale :

   $ P(Y = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} $

   Pour $ k = 8 $, $ n = 8 $ et $ p = \dfrac{3}{4} $, nous avons :

   $ P(Y = 8) = \binom{8}{8} \left( \dfrac{3}{4} \right)^8 \left( 1 - \dfrac{3}{4} \right)^{8 - 8} $
   $ P(Y = 8) = 1 \times \left( \dfrac{3}{4} \right)^8 \times 1 $
   $ P(Y = 8) = \left( \dfrac{3}{4} \right)^8 $

3. Pour une variable aléatoire suivant une loi binomiale $ Y $ de paramètres $ n $ et $ p $, l'espérance $ E(Y) $ et la variance $ V(Y) $ sont données par les formules suivantes :

   $ E(Y) = n \times p $
   $ V(Y) = n \times p \times (1 - p) $

   Dans notre cas, $ n = 8 $ et $ p = \dfrac{3}{4} $.

   Calculons l'espérance :

   $ E(Y) = 8 \times \dfrac{3}{4} = 6 $

   Calculons la variance :

   $ V(Y) = 8 \times \dfrac{3}{4} \times \left(1 - \dfrac{3}{4}\right) $
   $ V(Y) = 8 \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{4} $
   $ V(Y) = 8 \times \dfrac{3}{16} = 1,5 $

   Donc, l'espérance de $ Y $ est 6 et la variance de $ Y $ est 1,5.

Partie III

1. Puisque $ Z = X + Y $ :

   $ E(Z) = E(X) + E(Y) $

   De plus, comme $ X $ et $ Y $ sont indépendantes :

   $ V(Z) = V(X) + V(Y) $

   De la Partie I, nous avons :

   $ E(X) = 1,3 \quad \text{et} \quad V(X) = 0,57 $

   De la Partie II, nous avons :

   $ E(Y) = 6 \quad \text{et} \quad V(Y) = 1,5 $

   Calculons l'espérance de $ Z $ :

   $ E(Z) = E(X) + E(Y) = 1,3 + 6 = 7,3 $

   Calculons la variance de $ Z $ :

   $ V(Z) = V(X) + V(Y) = 0,57 + 1,5 = 2,07 $

2. 1. L'espérance de la moyenne de $ n $ variables identiques et indépendantes est donnée par :

      $ E(M_n) = E\left( \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Z_i \right) $

      Par linéarité de l'espérance :

      $ E(M_n) = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(Z_i) $

      Puisque $ Z_i $ ont toutes la même espérance $ E(Z) $ :

      $ E(M_n) = \dfrac{1}{n} \times n \times E(Z) = E(Z) $

      Donc :

      $ E(M_n) = 7,3 $

   2. L'écart type de $ M_n $ est donné par :

      $ \sigma(M_n) = \sqrt{V(M_n)} $

      La variance de $ M_n $ est :

      $ V(M_n) = V\left( \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Z_i \right) $

      Par indépendance des $ Z_i $ :

      $ V(M_n) = \dfrac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} V(Z_i) $

      Puisque $ Z_i $ ont toutes la même variance $ V(Z) $ :

      $ V(M_n) = \dfrac{1}{n^2} \times n \times V(Z) = \dfrac{V(Z)}{n} $

      Donc :

      $ \sigma(M_n) = \sqrt{\dfrac{V(Z)}{n}} $

      Nous voulons que cet écart type soit inférieur ou égal à 0,5 :

      $ \sqrt{\dfrac{V(Z)}{n}} \leqslant 0,5 $

      Élevons au carré :

      $ \dfrac{V(Z)}{n} \leqslant 0,25 $
      $ n \geqslant \dfrac{V(Z)}{0,25} = \dfrac{2,07}{0,25} = 8,28 $

      Comme $ n $ doit être un entier strictement positif, les valeurs possibles de $ n $ sont :

      $ n \geqslant 9 $

   3. Nous allons utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Cette inégalité nous dit que pour toute variable aléatoire $ X $ avec espérance $ \mu $ et variance $ \sigma^2 $,

      $ P(|X - \mu| \geqslant k\sigma) \leqslant \dfrac{1}{k^2} $

      Pour $ M_n $, nous avons $ \mu = 7,3 $ et $ \sigma^2 = \dfrac{2,07}{n} $. Nous voulons trouver la probabilité que $ M_n $ soit dans l'intervalle $ [6,3, 8,3] $. Cela signifie que nous cherchons $ P(6,3 \leqslant M_n \leqslant 8,3) $.

      $ P(6,3 \leqslant M_n \leqslant 8,3) = P(|M_n - 7,3| \leqslant 1) $

      Nous avons $ \sigma(M_n) = \sqrt{\dfrac{2,07}{n}} $.

      Utilisons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

      $ P(|M_n - 7,3| \geqslant 1) \leqslant \dfrac{\sigma^2(M_n)}{1^2} = \dfrac{2,07}{n} $

      Pour $ n \geqslant 9 $, nous avons :

      $ P(|M_n - 7,3| \geqslant 1) \leqslant \dfrac{2,07}{9} \approx 0,23 $

      En passant à l'événement contraire, on obtient :

      $ P(|M_n - 7,3| < 1) = 1 - P(|M_n - 7,3| \geqslant 1) $
      $ P(|M_n - 7,3| < 1) \geqslant 1 - 0,23 = 0,77 $

      Ainsi, pour $ n \geqslant 9 $, la probabilité que $ 6,3 \leqslant M_n \leqslant 8,3 $ est supérieure ou égale à 0,75.