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Sujet 0 – Logarithme et exponentielle

Exercice 7

On considère les fonctions $ f_k $ définies sur $ \mathbb{R} $ par $ f_k(x) = x + ke^{ - x} $, où $ k $ est un réel strictement positif.

  1. On s’intéresse dans cette question au cas $ k = 0,5 $, donc à la fonction $ f_{0,5} $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f_{0,5}(x) = x + 0,5e^{ - x} $.

    1. Montrer que la dérivée de $ f_{0,5} $, notée $ f^{\prime}_{0,5} $, vérifie $ f^{\prime}_{0,5}(x) = 1 - 0,5e^{ - x} $.
    2. Montrer que la fonction $ f_{0,5} $ admet un minimum en $ \ln(0,5) $.

    Soit $ k $ un réel strictement positif. On donne le tableau de variations de la fonction $ f_k $.

    Bac spé sujet 0 tableau de variations

  2. Montrer que pour tout réel positif $ k $, $ f_k(\ln(k)) = \ln(k) + 1 $

    On note $ C_k $ la courbe représentative de la fonction $ f_k $ dans un plan muni d’un repère orthonormé. On note $ A_k $ le point de la courbe $ C_k $ d’abscisse $ \ln(k) $. On a représenté ci-dessous quelques courbes $ C_k $ pour différentes valeurs de $ k $.

    Bac 2024 sujet 0 logarithme exponentielle
  3. Indiquer si l’affirmation suivante est vraie ou fausse. Justifier la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

    « Pour tout réel $ k $ strictement positif, les points $ A_{0,5} $, $ A_1 $ et $ A_k $ sont alignés. »

Corrigé

    1. Calculons la dérivée de $ f_{0,5} $ :

      La dérivée de $ x $ est 1, et la dérivée de $ 0,5e^{ - x} $ est :

      $ (0,5e^{ - x})^{\prime} = 0,5 \times ( - e^{ - x}) = - 0,5e^{ - x} $

      Donc, la dérivée de $ f_{0,5}(x) $ est :

      $ f^{\prime}_{0,5}(x) = 1 - 0,5e^{ - x} $
    2. Pour déterminer les points où la dérivée s'annule, nous résolvons l'équation $ f^{\prime}_{0,5}(x) = 0 $ :

      $ 1 - 0,5e^{ - x} = 0 $

      $ 0,5e^{ - x} = 1 $

      $ e^{ - x} = 2 $

      $ - x = \ln(2) $

      $ x = - \ln(2) = \ln(0,5) $

      Par ailleurs :
    3. Pour $ x < \ln(0,5) $, $ e^{ - x} > 2 $ donc $ 1 - 0,5e^{ - x} < 0 $.
    4. Pour $ x > \ln(0,5) $, $ e^{ - x} < 2 $ donc $ 1 - 0,5e^{ - x} > 0 $.

      La dérivée $ f^{\prime}_{0,5}(x) $ change de signe de négatif à positif pour $ x = \ln(0,5) $, donc $ f_{0,5} $ admet un minimum en $ x = \ln(0,5) $.
  2. Calculons $ f_k(\ln(k)) $ :

    $ f_k(x) = x + ke^{ - x} $

    Remplaçons $ x $ par $ \ln(k) $ :

    $ f_k(\ln(k)) = \ln(k) + k e^{ - \ln(k)} $

    Nous savons que $ e^{ - \ln(k)} = \dfrac{1}{e^{\ln(k)}} = \dfrac{1}{k} $, donc :

    $ f_k(\ln(k)) = \ln(k) + k \times \dfrac{1}{k} = \ln(k) + 1 $

  3. Considérons les points $ A_{0,5} $, $ A_1 $ et $ A_k $ :

    • $ A_{0,5} $ a pour coordonnées $ \left(\ln(0,5); \ln(0,5) + 1 \right) $.
    • $ A_1 $ a pour coordonnées $ \left(\ln(1); \ln(1) + 1 \right) = \left(0, 1 \right) $.
    • $ A_k $ a pour coordonnées $ \left(\ln(k); \ln(k) + 1 \right) $.

    On remarque facilement que les coordonnées de ces trois points vérifient l'équation de la droite $ y = x + 1 $ ; ils sont donc alignés sur la droite d'équation $ y = x + 1 $.

    L'affirmation est donc vraie.