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Sujet 0 – Intégrales

Exercice 2

L’exercice est constitué de deux parties indépendantes.

Partie I

Pour tout entier $ n $ supérieur ou égal à 1, on désigne par $ f_n $ la fonction définie sur $ [0 ; 1] $ par $ f_n(x) = x^n e^x $.

On note $ C_n $ la courbe représentative de la fonction $ f_n $ dans un repère $ (O, \vec{i}, \vec{j}) $ du plan.

On désigne par $ (I_n) $ la suite définie pour tout entier $ n $ supérieur ou égal à 1 par :

$ I_n = \int_{0}^{1} x^n e^x \, dx $

    1. On désigne par $ F_1 $ la fonction définie sur $ [0;1] $ par

      $ F_1(x) = (x - 1)e^x $

      Vérifier que $ F_1 $ est une primitive de la fonction $ f_1 $.

    2. Calculer $ I_1 $.

  2. À l’aide d’une intégration par parties, établir la relation pour tout $ n $ supérieur ou égal à 1,

    $ I_{n+1} = e - (n + 1)I_n $
  3. Calculer $ I_2 $.

  4. On considère la fonction mystère écrite dans le langage Python :

    from math import e # la constante d’Euler e

def mystere(n):
    a = 1
    L = [a]
    for i in range(1,n):
        a = e - (i + 1)*a
        L.append(a)
    return L

    À l’aide des questions précédentes, expliquer ce que renvoie l’appel mystere(5).

Partie II

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les courbes $ C_1, C_2, C_3, C_{10}, C_{20} $ et $ C_{30} $.

Bac 2024 sujet 0 Intégrales
    1. Donner une interprétation graphique de $ I_n $.
    2. Quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite $ (I_n) $?

  2. Montrer que pour tout $ n $ supérieur ou égal à 1,

    $ 0 \leq I_n \leq e \int_{0}^{1} x^n \, dx $
  3. En déduire $ \lim_{n \to +\infty} I_n $.

Corrigé

Partie I

  1. a) Pour vérifier que $ F_1 $ est une primitive de $ f_1 $, nous pouvons montrer que $ F_1^{\prime}(x) = f_1(x) $.

    Calculons la dérivée de $ F_1(x) $ en la règle du produit $ (uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime} $ :
    $ F_1^{\prime}(x) = e^x + (x - 1)e^x $
    $ F_1^{\prime}(x) = e^x + xe^x - e^x $
    $ F_1^{\prime}(x) = xe^x $

    Or, $ f_1(x) = xe^x $, donc $ F_1^{\prime}(x) = f_1(x) $.

    Ainsi, $ F_1(x) = (x - 1)e^x $ est bien une primitive de $ f_1(x) = xe^x $.

    b) Utilisons la primitive trouvée pour calculer $ I_1 $ :

    $ I_1 = \int_{0}^{1} xe^x \, dx $

    Comme $ F_1(x) = (x - 1)e^x $ est une primitive de $ xe^x $, nous utilisons le théorème fondamental du calcul intégral :

    $ I_1 = [ (x - 1)e^x ]_{0}^{1} $

    Calculons cette expression aux bornes 0 et 1 :

    $ I_1 = (1 - 1)e^1 - (0 - 1)e^0 $
    $ I_1 = (0 \times e) - ( - 1 \times 1) $
    $ I_1 = 0 - ( - 1) $
    $ I_1 = 1 $
  2. Établissons la relation $ I_{n+1} = e - (n + 1)I_n $ en utilisant l'intégration par parties.

    Pour cela, considérons les fonctions définies par $ u(x) = x^{n+1} $ et $ v^{\prime}(x) = e^x $. Alors, $ u^{\prime}(x) = (n+1)x^n $ et $ v(x) = e^x $.

    L'intégration par parties nous donne :

    $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $

    Appliquons ceci à notre intégrale :

    $ I_{n+1} = \int_{0}^{1} x^{n+1} e^x \, dx $

    En utilisant les fonctions choisies :

    $ I_{n+1} = [ x^{n+1} e^x ]_0^1 - \int_{0}^{1} (n+1)x^n e^x \, dx $
    $ I_{n+1} = 1^{n+1} e^1 - 0^{n+1} e^0 - (n+1) \int_{0}^{1} x^n e^x \, dx $
    $ I_{n+1} = e - 0 - (n+1)I_n $
    $ I_{n+1} = e - (n+1)I_n $
  3. Calculons $ I_2 $ en utilisant la relation trouvée :

    $ I_2 = e - 2I_1 $

    Nous savons que $ I_1 = 1 $, donc :

    $ I_2 = e - 2 \times 1 $
    $ I_2 = e - 2 $
  4. La fonction mystere renvoie une liste comprenant les $ n $ premiers termes d'une suite dont le premier terme est égal à 1 et qui vérifie la relation de récurrence $ u_{n+1} = e - (n + 1) u_n $.

    D'après les questions précédentes, on voit que cette suite n'est autre que la suite $ (I_n) $.

    L'appel mystere(5) renvoie donc la liste des valeurs $ [I_1, I_2, I_3, I_4, I_5] $ (le terme $ I[/i] 1 $ est donné lors de l'initialisation et les 4 termes suivants sont calculés dans la boucle for).

Partie II

    1. Toutes les fonctions $ f_n $ sont positives sur l'intervalle $ [0; 1] $.
      Les intégrales $ I_n $ représentent donc l'aire (en unité d'aire) située entre la courbe $ C_n $ et l'axe des abscisses pour $ x $ compris entre 0 et 1.
    2. Ces aires semblent tendre vers 0 lorsque $ n $ tend vers $ +\infty $.
      Par conséquent, on peut conjecturer que la suite $ (I_n) $ converge vers 0.

  2. Sachant que pour $ x $ dans l'intervalle $ [0, 1] $, $ e^x \leq e $ (car la fonction exponentielle est croissante), nous avons :

    $ x^n e^x \leq x^n e $

    En intégrant les deux membres sur $ [0, 1] $ :

    $ \int_{0}^{1} x^n e^x \, dx \leq \int_{0}^{1} x^n e \, dx $

    Cela donne :

    $ I_n \leq e \int_{0}^{1} x^n \, dx $

    Puisque l'intégrale d'une fonction positive est positive, nous avons aussi :

    $ 0 \leq I_n $

    Ainsi, nous obtenons :

    $ 0 \leq I_n \leq e \int_{0}^{1} x^n \, dx $

  3. Calculons $ \int_{0}^{1} x^n \, dx $ :

    $ \int_{0}^{1} x^n \, dx = \left[ \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{n+1} $

    Donc :

    $ e \int_{0}^{1} x^n \, dx = e \times \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{e}{n+1} $

    Ainsi :

    $ 0 \leq I_n \leq \dfrac{e}{n+1} $

    Lorsque $ n $ tend vers l'infini, $ \dfrac{e}{n+1} $ tend vers 0.

    Par le théorème des gendarmes, nous avons donc :

    $ \lim_{n \to +\infty} I_n = 0 $

    La suite $ (I_n) $ converge donc vers 0.