Sujet 0 – Géométrie dans l’espace
Exercice 4
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. choisie.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition. Aucune justification n’est demandée.
Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.
Les questions sont indépendantes.
On considère le prisme droit $ ABFEDCGH $ tel que $ AB = AD $. Sa base $ ABFE $ est un trapèze rectangle en $ A $, vérifiant $ \overrightarrow{BF} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{AE} $.
On note $ I $ le milieu du segment $ [EF] $.
On note $ J $ le milieu du segment $ [AE] $.
On associe à ce prisme le repère orthonormé $ (A ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) $ tel que : $ \vec{i} = \overrightarrow{AB} $; $ \vec{j} = \overrightarrow{AD} $; $ \vec{k} = \overrightarrow{AJ} $.
On donne les coordonnées de quatre vecteurs dans la base $ (\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) $. Lequel est un vecteur normal au plan $ (ABG) $?
- $ \vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $
- $ \vec{n}\begin{pmatrix} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $
- $ \vec{n}\begin{pmatrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{pmatrix} $
- $ \vec{n}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $
Parmi les droites suivantes, laquelle est parallèle à la droite $ (IJ) $?
- $ (DG) $
- $ (BD) $
- $ (AG) $
- $ (FG) $
Quels vecteurs forment une base de l’espace?
- $ (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CG}) $
- $ (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}) $
- $ (\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DG}) $
- $ (\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CG}, \overrightarrow{CE}) $
Une décomposition du vecteur $ \overrightarrow{AG} $ comme somme de plusieurs vecteurs deux à deux orthogonaux est :
- $ \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{HG} $
- $ \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AJ} $
- $ \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BJ} + \overrightarrow{JG} $
- $ \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DH} + \overrightarrow{HG} $
Le volume du prisme droit $ ABFEDCGH $, est égal à :
- $ \dfrac{5}{8} $
- $ \dfrac{8}{5} $
- $ \dfrac{3}{2} $
- $ 2 $
Corrigé
Le vecteur $ \overrightarrow{AB} $ a comme coordonnées :
$ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $Le vecteur $ \overrightarrow{AG} $ a comme coordonnées :
$ \overrightarrow{AG} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $Le vecteur $ \vec{n} $ est normal au plan $ (ABG) $ si et seulement s'il est orthogonal à $ \overrightarrow{AB} $ et à $ \overrightarrow{AG} $.
Montrons que le vecteur $ \vec{n} \begin{pmatrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{pmatrix} $ (réponse c.) convient pour cela calculons les produits scalaires pour vérifier l'orthogonalité :
$ \overrightarrow{AB} \cdot \vec{n} = 1 \times 0 + 0 \times ( - 1) + 0 \times 1 = 0 $$ \overrightarrow{AG} \cdot \vec{n} = 1 \times 0 + 1 \times ( - 1) + 1 \times 1 = 0 $Les produits scalaires étant nuls, cela confirme que $ \vec{n} $ est orthogonal à $ \overrightarrow{AB} $ et à $ \overrightarrow{AG} $.
La réponse correcte est donc la réponse c.
$ I $ est le milieu du segment $ [EF] $ et $ J $ le milieu du segment $ [AE] $. Un calcul simple des coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{JI} $ donne :
$ \overrightarrow{JI} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \\ 0 \\ \dfrac{1}{2} \end{pmatrix} $Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{DG} $ sont :
$ \overrightarrow{DG} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $Les vecteurs $ \overrightarrow{JI} $ et $ \overrightarrow{DG} $ sont colinéaires, donc les droites $ (IJ) $ et $ (DG) $ sont parallèles.
La réponse correcte est donc la réponse a.
Quels vecteurs forment une base de l’espace?
Une base de l'espace est constituée de trois vecteurs non coplanaires.
La proposition a. ne convient pas car il n’y a que deux vecteurs.
La proposition b. ne convient pas car
$ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} $La proposition d. ne convient pas car
$ \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CA} + 2 \overrightarrow{CG} $La réponse correcte est donc la réponse c..
- Les vecteurs $ \overrightarrow{AB} $, $ \overrightarrow{AD} $, et $ \overrightarrow{AJ} $ sont deux à deux orthogonaux d'après l'énoncé.
La réponse correcte est donc la réponse b.. - Le volume d'un prisme droit est donné par la formule $ V = \text{Aire de la base} \times \text{hauteur} $.
La base est un trapèze rectangle avec $ BF = \dfrac{1}{2}AE $ et $ AE $. La hauteur du prisme est $ AD $.
L'aire du trapèze est : $ \dfrac{1}{2} \times (AE + BF) \times AB $
Puisque $ BF = \dfrac{1}{2}AE $, l'aire du trapèze est : $ \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{2}AE \times AB = \dfrac{3}{4}AE \times AB= \dfrac{3}{4} \times 2 \times 2 = \dfrac{3}{2} $
Et donc le volume est $ V = \dfrac{3}{2} \times AD=\dfrac{3}{2} \times 1 = \dfrac{3}{2} $ .
La réponse correcte est donc la réponse c..