Suites – Récurrence – Limite

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n \geqslant 1$ par :

$u_n=\dfrac{1}{3^1}+\dfrac{2}{3^2}+ . . . +\dfrac{n}{3^n}$

Partie A

1. Calculer $u_1,\ u_2,\ u_3$. À l’aide d’une calculatrice, déterminer une valeur approchée de $u_{100}$ à $10^{ – 3}$ près.

2. Quel est le sens de variation de la suite $(u_n)$ ?

   Justifier la réponse.

3. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul, $\left(\dfrac{3}{2} \right)^n \geqslant n$

4. Déduire de la question précédente un majorant de $u_n$.

5. Prouver que la suite $(u_n)$ est convergente.

Partie B

Dans la suite de l’exercice, on notera $l$ la limite de la suite $(u_n)$.

1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $3^{n+1} > n(n+1)^2$

2. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $v_n=u_n+ \dfrac{1}{n}$.
   
   Montrer que la suite $(v_n)$ est décroissante.

3. Démontrer que la suite $(v_n)$ est convergente.
   
   Quelle est sa limite ?

4. Déterminer un encadrement de $l$ d’amplitude $10^{ – 2}$.