Suites et récurrence – Bac S Métropole 2009

Exercices

Exercice 1

4 points – Commun à tous les candidats

Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par :

$u_{0}=1$ et, pour tout nombre entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u _{n}+4$.

On pose, pour tout nombre entier naturel $n$, $v_{n}=u_{n} – 6$.
1. Pour tout nombre entier naturel $n$, calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$. Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ?
2. Démontrer que pour tout nombre entier naturel $n$, $u_{n}= – 5 \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}+6$.
3. Étudier la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$.
On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ dont les termes vérifient, pour tout nombre entier $n \geqslant 1$ :

$nw_{n} =\left(n+1\right)w_{n – 1} +1$ et $w_{0}=1$.

Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite.

$w_{0}$ $w_{1}$ $w_{2}$ $w_{3}$ $w_{4}$ $w_{5}$ $w_{6}$ $w_{7}$ $w_{8}$ $w_{9}$

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
1. Détailler le calcul permettant d’obtenir $w_{10}$.
2. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
  
  Donner la nature de la suite $\left(w_{n}\right)$. Calculer $w_{2009}$.

Corrigé

1. $v_{n+1}=u_{n+1} – 6=\left(\dfrac{1}{3}u_{n}+4\right) – 6=\dfrac{1}{3}u_{n} – 2=\dfrac{1}{3}\left(v_{n}+6\right) – 2=\dfrac{1}{3}v_{n}$
  
  La suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de premier terme $v_{0}=u_{0} – 6= – 5$ et de raison $\dfrac{1}{3}$
2. On en déduit pour tout entier naturel $n$ :
  
  $v_{n}=v_{0}\times q^{n}= – 5\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}$
  
  donc
  
  $u_{n}=v_{n}+6= – 5\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}+6$
3. Comme $\dfrac{1}{3} < 1$, on en déduit que :
  
  $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }u_{n}=6$
  
  donc la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers 6
1. $10w_{10}=11w_{9}+1=11\times 19+1=210$
  
  $w_{10}=21$
2. Montrons par récurrence que pour tout entier n :
  
  $w_{n}=2n+1$
  Initialisation
  $w_{0}=1$ donc la propriété est vraie au rang 1.
  Hérédité
  Supposons $w_{n}=2n+1$ pour un certain entier $n$, alors:
  
  $\left(n+1\right)w_{n+1}=\left(n+2\right)\left(2n+1\right)+1=2n^{2}+5n+3$
  
  $2n^{2}+5n+3$ est un polynôme du second degré en $n$ dont les racines sont $- 1$ et $- \dfrac{3}{2}$ donc :
  
  $2n^{2}+5n+3=2\left(n+1\right)\left(n+\dfrac{3}{2}\right)=\left(n+1\right)\left(2n+3\right)$
  
  donc
  
  $\left(n+1\right)w_{n+1}=\left(n+1\right)\left(2n+3\right)$
  
  $w_{n+1}=2n+3$ car $n+1 \neq 0$
  
  Ce qui montre par récurrence que $w_{n}=2n+1$.
  
  La suite $\left(w_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 1.
  
  $w_{2009}=2\times 2009+1=4019$

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