Extrait d’un exercice du Bac S Métropole 2014.
Le sujet complet est disponible ici : Bac S Métropole 2014
L’objet de cette exercice est d’étudier la suite $\left(I_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par :
$I_{n}=\int_{0}^{1}\left(x+e^{ – nx}\right) dx.$
Dans le plan muni d’un repère orthonormé $\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right)$ , pour tout entier naturel $n$, on note
$\mathscr C_{n}$ la courbe représentative de la fonction $f_{n}$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$f_{n}\left(x\right)=x+e^{ – nx}.$
Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe $\mathscr C_{n}$ pour plusieurs valeurs de l’entier $n$ et la droite $\mathscr D$ d’équation $x=1$.
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Interpréter géométriquement l’intégrale $I_{n}$.
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En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(I_{n}\right)$ et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s’appuie pour conjecturer.
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Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1,
$I_{n+1} – I_{n}=\int_{0}^{1}e^{ – \left(n+1\right)x} \left(1 – e^{x}\right)dx.$
En déduire le signe de $I_{n+1} – I_{n}$ puis démontrer que la suite $\left(I_{n}\right)$ est convergente.
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Déterminer l’expression de $I_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de la suite $\left(I_{n}\right)$.
Corrigé
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Sur $\left[0;1\right]$ les fonctions $f_{n}$ sont strictement positives puisque $x \geqslant 0$ et $e^{ – nx} > 0$
L’intégrale $I_{n}$ représente donc l’aire du plan délimité par la courbe $\mathscr C_{n}$, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=0$ et $x=1$.
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D’après la figure, il semble que la suite $I_{n}$ soit décroissante et tende vers $\dfrac{1}{2}$.
En effet, sur $\left[0;1\right]$ les courbes $\mathscr C_{n}$ semble se rapprocher de la droite d’équation $y=x$;
l’aire comprise entre cette droite, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=0$ et $x=1$ vaut $\dfrac{1}{2}$ (triangle rectangle isocèle dont les côtés mesurent 1 unité).
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$I_{n+1} – I_{n}=\int_{0}^{1}x+e^{ – \left(n+1\right)x}dx – \int_{0}^{1}x+e^{ – nx}dx$.
D’après la propriété de linéarité de l’intégrale :
$I_{n+1} – I_{n}=\int_{0}^{1}x+e^{ – \left(n+1\right)x} – \left(x+e^{ – nx}\right)dx=\int_{0}^{1}e^{ – \left(n+1\right)x} – e^{ – nx}dx$
$I_{n+1} – I_{n}= \int_{0}^{1}e^{ – \left(n+1\right)x} \left(1 – e^{x}\right)dx$
Or, sur $\left[0;1\right]$, $e^{x} \geqslant 1$ donc $1 – e^{x}\leqslant 0$ et $e^{ – \left(n+1\right)x} > 0$ donc d’après la propriété de positivité de l’intégrale : $I_{n+1} – I_{n} \leqslant 0$.
La suite $\left(I_{n}\right)$ est donc décroissante. Comme elle est minorée par zéro elle est convergente.
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Une primitive de $x\mapsto x$ sur $\mathbb{R}$ est $x\mapsto \dfrac{x^{2}}{2}$
Une primitive de $x\mapsto e^{ – nx}$ sur $\mathbb{R}$ est $x\mapsto – \dfrac{e^{ – nx}}{n}$
Par conséquent :
$I_{n}=\int_{0}^{1}\left(x+e^{ – nx}\right) dx = \left[\dfrac{x^{2}}{2} – \dfrac{e^{ – nx}}{n}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{2} – \dfrac{e^{ – n}}{n}+\dfrac{1}{n}$
Comme $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{e^{ – n}}{n}=0$ (par quotient) et $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{n}=0$ on a donc :
$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }I_{n}=\dfrac{1}{2}$