[Bac] Suites et intégrales
Extrait d'un exercice du Bac S Métropole 2014.
Le sujet complet est disponible ici : Bac S Métropole 2014
L'objet de cette exercice est d'étudier la suite $ \left(I_{n}\right) $ définie sur $ \mathbb{N} $ par :
Dans le plan muni d'un repère orthonormé $ \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) $ , pour tout entier naturel $ n $, on note
$ \mathscr C_{n} $ la courbe représentative de la fonction $ f_{n} $ définie sur $ \mathbb{R} $ par
Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe $ \mathscr C_{n} $ pour plusieurs valeurs de l'entier $ n $ et la droite $ \mathscr D $ d'équation $ x=1 $.
- Interpréter géométriquement l'intégrale $ I_{n} $.
- En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $ \left(I_{n}\right) $ et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s'appuie pour conjecturer.
Démontrer que pour tout entier naturel $ n $ supérieur ou égal à 1,
$ I_{n+1} - I_{n}=\int_{0}^{1}e^{ - \left(n+1\right)x} \left(1 - e^{x}\right)dx. $En déduire le signe de $ I_{n+1} - I_{n} $ puis démontrer que la suite $ \left(I_{n}\right) $ est convergente.
- Déterminer l'expression de $ I_{n} $ en fonction de $ n $ et déterminer la limite de la suite $ \left(I_{n}\right) $.
Corrigé
- Sur $ \left[0;1\right] $ les fonctions $ f_{n} $ sont strictement positives puisque $ x \geqslant 0 $ et $ e^{ - nx} > 0 $
L'intégrale $ I_{n} $ représente donc l'aire du plan délimité par la courbe $ \mathscr C_{n} $, l'axe des abscisses et les droites d'équations $ x=0 $ et $ x=1 $. - D'après la figure, il semble que la suite $ I_{n} $ soit décroissante et tende vers $ \dfrac{1}{2} $.
En effet, sur $ \left[0;1\right] $ les courbes $ \mathscr C_{n} $ semble se rapprocher de la droite d'équation $ y=x $;
l'aire comprise entre cette droite, l'axe des abscisses et les droites d'équations $ x=0 $ et $ x=1 $ vaut $ \dfrac{1}{2} $ (triangle rectangle isocèle dont les côtés mesurent 1 unité). - $ I_{n+1} - I_{n}=\int_{0}^{1}x+e^{ - \left(n+1\right)x}dx - \int_{0}^{1}x+e^{ - nx}dx $.
D'après la propriété de linéarité de l'intégrale :
$ I_{n+1} - I_{n}=\int_{0}^{1}x+e^{ - \left(n+1\right)x} - \left(x+e^{ - nx}\right)dx=\int_{0}^{1}e^{ - \left(n+1\right)x} - e^{ - nx}dx $
$ I_{n+1} - I_{n}= \int_{0}^{1}e^{ - \left(n+1\right)x} \left(1 - e^{x}\right)dx $
Or, sur $ \left[0;1\right] $, $ e^{x} \geqslant 1 $ donc $ 1 - e^{x}\leqslant 0 $ et $ e^{ - \left(n+1\right)x} > 0 $ donc d'après la propriété de positivité de l'intégrale : $ I_{n+1} - I_{n} \leqslant 0 $.
La suite $ \left(I_{n}\right) $ est donc décroissante. Comme elle est minorée par zéro elle est convergente. Une primitive de $ x\mapsto x $ sur $ \mathbb{R} $ est $ x\mapsto \dfrac{x^{2}}{2} $
Une primitive de $ x\mapsto e^{ - nx} $ sur $ \mathbb{R} $ est $ x\mapsto - \dfrac{e^{ - nx}}{n} $
Par conséquent :
$ I_{n}=\int_{0}^{1}\left(x+e^{ - nx}\right) dx = \left[\dfrac{x^{2}}{2} - \dfrac{e^{ - nx}}{n}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{e^{ - n}}{n}+\dfrac{1}{n} $
Comme $ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{e^{ - n}}{n}=0 $ (par quotient) et $ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{n}=0 $ on a donc :
$ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }I_{n}=\dfrac{1}{2} $