Suites – Bac S Pondichéry 2017

Partie A

1. Les formules à entrer en B3 et C3 (puis à recopier vers le bas) sont :

   • En B3 : =2*B2-A2+3
   • En C3 : =2^A3 (ou =PUISSANCE(2;A3))

2. D'après les calculs de Florent :

   • Les valeurs de $ u_n $ croissent très rapidement, on peut conjecturer que :

     $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty $

   • Pour la suite $ w_n = \dfrac{u_n}{v_n} $, calculons les premiers termes :

     • $ w_0 = \dfrac{u_0}{v_0} = \dfrac{1}{1} = 1 $
     • $ w_1 = \dfrac{u_1}{v_1} = \dfrac{2(1)-0+3}{2} = \dfrac{5}{2} = 2,5 $
     • $ w_2 = \dfrac{u_2}{v_2} = \dfrac{2(5)-1+3}{4} = \dfrac{12}{4} = 3 $
     • $ w_3 = \dfrac{u_3}{v_3} = \dfrac{2(12)-2+3}{8} = \dfrac{25}{8} = 3,125 $
     • $ w_{10} \approx 3,0078 $ ; $ w_{11} \approx 3,0044 $ ; $ w_{12} \approx 3,0024 $ ; $ w_{13} \approx 3,0013 $

     Les valeurs de $ \dfrac{u_n}{v_n} $ semblent se rapprocher de 3 pour les grandes valeurs de $ n $, on peut donc conjecturer que :

     $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n} = 3 $

Partie B

1. Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel $ n $, $ u_n = 3 \times 2^n+n - 2 $.

   Initialisation :
   Pour $ n = 0 $, on a $ u_0 = 1 $.
   D'autre part, $ 3 \times 2^0 + 0 - 2 = 3 \times 1 - 2 = 1 $.
   La propriété est donc vraie au rang 0.

   Hérédité :
   Supposons que pour un entier naturel $ n $ quelconque, on ait $ u_n = 3 \times 2^n + n - 2 $.
   Démontrons alors que $ u_{n+1} = 3 \times 2^{n+1} + (n+1) - 2 $.
   D'après l'énoncé, $ u_{n+1} = 2u_n - n + 3 $.
   En utilisant l'hypothèse de récurrence :
   $ u_{n+1} = 2(3 \times 2^n + n - 2) - n + 3 $
   $ u_{n+1} = 3 \times 2^{n+1} + 2n - 4 - n + 3 $
   $ u_{n+1} = 3 \times 2^{n+1} + n - 1 $
   D'autre part, la formule au rang $ n+1 $ donne :
   $ 3 \times 2^{n+1} + (n + 1) - 2 = 3 \times 2^{n+1} + n - 1 $.
   La propriété est donc héréditaire.

   Conclusion :
   La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire, donc pour tout entier naturel $ n $, $ u_n = 3 \times 2^n + n - 2 $.

2. On sait que $ \lim\limits_{n \to +\infty} 2^n = +\infty $.
   Comme $ 3 > 0 $, on a $ \lim\limits_{n \to +\infty} 3 \times 2^n = +\infty $.
   De plus, $ \lim\limits_{n \to +\infty} (n - 2) = +\infty $.
   Par somme de limites :

   $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty $
3. On cherche le plus petit entier $ n $ tel que $ u_n > 10^6 $.
   À l'aide de la calculatrice :
4. Pour $ n = 18 $, $ u_{18} = 3 \times 2^{18} + 18 - 2 = 3 \times 262\,144 + 16 = 786\,432 + 16 = 786\,448 < 10^6 $.
5. Pour $ n = 19 $, $ u_{19} = 3 \times 2^{19} + 19 - 2 = 3 \times 524\,288 + 17 = 1\,572\,864 + 17 = 1\,572\,881 > 10^6 $.
   Le rang du premier terme supérieur à 1 million est donc 19.

Partie C

1. Soit $ w_n = \dfrac{u_n}{v_n} = \dfrac{3 \times 2^n + n - 2}{2^n} = 3 + \dfrac{n - 2}{2^n} $.
   Étudions le signe de $ w_{n+1} - w_n $ :

   $ w_{n+1} - w_n = \left( 3 + \dfrac{n+1-2}{2^{n+1}} \right) - \left( 3 + \dfrac{n-2}{2^n} \right) $

   $ w_{n+1} - w_n = \dfrac{n-1}{2^{n+1}} - \dfrac{n-2}{2^n} = \dfrac{n-1 - 2(n-2)}{2^{n+1}} $

   $ w_{n+1} - w_n = \dfrac{n - 1 - 2n + 4}{2^{n+1}} = \dfrac{3 - n}{2^{n+1}} $.

   Pour $ n \geqslant 3 $, $ 3 - n \leqslant 0 $, donc $ w_{n+1} - w_n \leqslant 0 $.

   La suite $ \left(\dfrac{u_n}{v_n}\right) $ est donc décroissante à partir du rang 3.

2. On sait que pour $ n \geqslant 4 $ :

   $ 0 < \dfrac{n}{2^n} \leqslant \dfrac{1}{n} $

   Comme $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0 $, d'après le théorème des gendarmes, on a :

   $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{n}{2^n} = 0 $

   On a aussi $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{2}{2^n} = 0 $.
   Comme $ \dfrac{u_n}{v_n} = 3 + \dfrac{n}{2^n} - \dfrac{2}{2^n} $, on en déduit par somme de limites :

   $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n} = 3 $