Exercice 2 (5 points)
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par
$u_{0}=0$
et, pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1}=u_{n}+2n +2$.
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Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.
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On considère les deux algorithmes suivants :
Variables : $n$ est un entier naturel $u$ est un réel Entrée : Saisir la valeur de $n$ Traitement : $u$ prend la valeur 0 Pour $i$ allant de $1$ à $n$: $\quad$$\quad$$\quad$$u$ prend la valeur $u+2i+2$ Fin Pour Sortie : Afficher $u$ Algorithme 1
Variables : $n$ est un entier naturel $u$ est un réel Entrée : Saisir la valeur de $n$ Traitement : $u$ prend la valeur $0$ Pour $i$ allant de $0$ à $n – 1$: $\quad$$\quad$$\quad$$u$ prend la valeur $u+2i+2$ Fin Pour Sortie : Afficher $u$ Algorithme 2
De ces deux algorithmes, lequel permet d’afficher en sortie la valeur de $u_{n}$, la valeur de l’entier naturel $n$ étant entrée par l’utilisateur ?
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À l’aide de l’algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où $n$ figure en abscisse et $u_{n}$ en ordonnée.
$n$ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $u_{n}$ 0 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156 
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Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
Démontrer cette conjecture.
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La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l’existence de trois réels $a, b$ et $c$ tels que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}=an^{2}+bn+c$
Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de $a, b$ et $c$ à l’aide des informations fournies
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On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(v_{n}\right)$ par $v_{n}=u_{n+1} – u_{n}$.
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Exprimer $v_{n}$ en fonction de l’entier naturel $n$. Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ?
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On définit, pour tout entier naturel $n, S_{n}=\sum_{k=0}^{n} v_{k}=v_{0}+v_{1}+. . .+v_{n}$.
Démontrer que, pour tout entier naturel $n, S_{n}=\left(n+1\right)\left(n+2\right)$.
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Démontrer que, pour tout entier naturel $n, S_{n}=u_{n+1} – u_{0}$, puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
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