Exercice 4 5 points
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Soit la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_{0}=2$ et pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1}=\dfrac{2}{3}u_{n}+\dfrac{1}{3}n+1.$
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Calculer $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ et $u_{4}$. On pourra en donner des valeurs approchées à $10^{ – 2}$ près.
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Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
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Démontrer que pour tout entier naturel $n$,
$u_{n} \leqslant n+3.$
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Démontrer que pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1} – u_{n}=\dfrac{1}{3} \left(n+3 – u_{n}\right).$
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En déduire une validation de la conjecture précédente.
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On désigne par $\left(v_{n}\right)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $v_{n}=u_{n} – n$.
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Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$.
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En déduire que pour tout entier naturel $n$,
$u_{n}=2\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}+n$
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Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
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Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose:
$S_{n}=\sum_{k=0}^{n} u_{k}=u_{0}+u_{1}+. . .+u_{n}$
et
$T_{n}=\dfrac{S_{n}}{n^{2}}.$
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Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$.
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Déterminer la limite de la suite $\left(T_{n}\right)$.
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