Suites – Bac S Liban 2013

Exercice 4   (5 points)

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère la suite numérique $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par

$$\left\{ \begin{matrix} v_{0}=1 \\ v_{n+1} =\dfrac{9}{6 – v_{n}}\end{matrix}\right.$$

Partie A

1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel $n$ donné, tous \les termes de la suite, du rang $0$ au rang $n$.

   Parmi \les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser \lequel en justifiant la réponse.

   Algorithme N° 1

   Variables : $v$ est un réel $i$ et $n$ sont des entiers naturels Début de l'algorithme : Lire $n$ $v$ prend la valeur $1$ Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire $v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$ Fin pour Afficher $v$ Fin algorithme

   Algorithme N° 2

   Variables : $v$ est un réel $i$ et $n$ sont des entiers naturels Début de l'algorithme : Lire $n$ Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire $v$ prend la valeur $1$ Afficher $v$ $v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$ Fin pour Fin algorithme

   Algorithme N° 3

   Variables : $v$ est un réel $i$ et $n$ sont des entiers naturels Début de l'algorithme : Lire $n$ $v$ prend la valeur $1$ Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire Afficher $v$ $v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$ Fin pour Fin algorithme

2. Pour $n=10$ on obtient l’affichage suivant :

   1

   1,800

   2,143

   2,333

   2,455

   2,538

   2,600

   2,647

   2,684

   2,714

   Pour $n=100$, \les derniers termes affichés sont :

   2,967

   2,968

   2,968

   2,968

   2,969

   2,969

   2,969

   2,970

   2,970

   2,970

   Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(v_{n}\right)$ ?

3. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ : $0 < v_{n} < 3$.

   2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $v_{n+1} – v_{n}=\dfrac{\left(3 – v_{n} \right)^{2}}{6 – v_{n}}$.

      La suite $\left(v_{n}\right)$ est-elle monotone ?

   3. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente.

Partie B

Recherche de la \limite de la suite $\left(v_{n}\right)$

On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ définie pour tout $n$ entier naturel par

$w_{n}=\dfrac{1}{v_{n} – 3}.$

1. Démontrer que $\left(w_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $- \dfrac{1}{3}$

2. En déduire l’\expression de $\left(w_{n}\right)$, puis celle de $\left(v_{n}\right)$ en fonction de $n$.

3. Déterminer la \limite de la suite $\left(v_{n}\right)$.