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Suites – Bac S Asie 2013

Exercices

Exercice 4   5 points

Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=2$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n+1}=\dfrac{1+3u_{n}}{3+u_{n}}.$

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a :

    $u_{n} > 1$

    1. Établir que, pour tout entier naturel $n$, on a :

      $u_{n+1} – u_{n}=\dfrac{\left(1 – u_{n} \right)\left(1+u_{n}\right)}{3+ u_{n}}$.

    2. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.

      En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge.

Partie B

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0}=2$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n+1}=\dfrac{1+0,5u_{n}}{0,5+u_{n}}.$

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

  1. On considère l’algorithme suivant :

    Entrée Soit un entier naturel non nul $n$
    Initialisation Affecter à $u$ la valeur 2
    Traitement et sortie POUR $i$ allant de 1 à $n$
    $\quad$Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1+0,5u}{0,5+u}$
    $\quad$Afficher $u$
    FIN POUR

    Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $n=3$. Les valeurs de $u$ seront arrondies au millième.

    $i$     1     2     3
    $u$    

  2. Pour $n=12$, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :

    $i$ 4 5 6 7 8 9 10 11 12
    $u$ 1,0083 0,9973 1,0009 0,9997 1,0001 0,99997 1,00001 0,999996 1,000001

    Conjecturer le comportement de la suite $\left(u_{n}\right)$ à l’infini.

  3. On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_{n}=\dfrac{u_{n} – 1}{u_{n}+1}$.

    1. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$.

    2. Calculer $v_{0}$ puis écrire $v_{n}$ en fonction de $n$.

    1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n} \neq 1$.

    2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n}=\dfrac{1+v_{n}}{1 – v_{n}}$.

    3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.

Corrigé

Partie A

  1. Soit $P_{n}$ la propriété «$u_{n} > 1$»

    Initialisation :
    $u_{0}=2 > 1$ donc $P_{0}$ est vraie.

    Hérédité
    Supposons que $P_{n}$ soit vraie pour un entier $n$ fixé. Alors :

    $u_{n+1} – 1=\dfrac{1+3u_{n}}{3+u_{n}} – 1=\dfrac{1+3u_{n}}{3+u_{n}} – \dfrac{3+u_{n}}{3+u_{n}}=\dfrac{ – 2+2u_{n}}{3+u_{n}}=\dfrac{2\left(u_{n} – 1\right)}{3+u_{n}}$

    Comme $u_{n} > 1$ par hypothèse de récurrence, le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs donc $u_{n+1} – 1 > 0$ donc $u_{n+1} > 1$ ce qui prouve l’hérédité.

    Par conséquent, $u_{n} > 1$ pour tout entier naturel $n$.

    1. $u_{n+1} – u_{n}=\dfrac{1+3u_{n}}{3+u_{n}} – u_{n}=\dfrac{1+3u_{n}}{3+u_{n}} – \dfrac{u_{n}\left(3+u_{n}\right)}{3+u_{n}}=\dfrac{1 – u_{n}^{2}}{3+u_{n}}$

      $u_{n+1} – u_{n}=\dfrac{\left(1 – u_{n} \right)\left(1+u_{n}\right)}{3+ u_{n}}$

    2. D’après la question 1. $u_{n} > 1$ pour tout entier naturel $n$. Par conséquent :

      ♦  $1 – u_{n} < 0$

      ♦  $1+u_{n} > 0$

      ♦  $3+u_{n} > 0$

      $u_{n+1} – u_{n}$ est donc strictement négatif pour tout entier $n$. Par conséquent, la suite $\left(u_{n}\right)$ est strictement décroissante.

      La suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante et minorée par $1$ donc convergente (voir cours)

Partie B

  1. A la calculatrice (en utilisant le menu Suites) on trouve :

    $i$ 1 2 3
    $u$ 0,8 1,077 0,976

  2. La suite $\left(u_{n}\right)$ semble converger vers $1$.

    1. $v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1} – 1}{u_{n+1}+1} = \dfrac{\dfrac{1+0,5u_{n}}{0,5+u_{n}} – 1}{\dfrac{1+0,5u_{n}}{0,5+u_{n}}+1}=\dfrac{\dfrac{ – 0,5u_{n} – 0,5}{0,5+u_{n}}}{\dfrac{1,5u_{n}+1,5}{0,5+u_{n}}}=\dfrac{ – 0,5u_{n} – 0,5}{0,5+u_{n}}\times \dfrac{0,5+u_{n}}{1,5u_{n}+1,5}$

      $v_{n+1} =\dfrac{ – 0,5u_{n} – 0,5}{1,5u_{n}+1,5}= – \dfrac{0,5}{1,5}\times \dfrac{u_{n} – 1}{u_{n}+1}= – \dfrac{1}{3}v_{n}$

      Donc, la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$

    2. $v_{0}=\dfrac{u_{0} – 1}{u_{0}+1}=\dfrac{1}{3}$

      Par conséquent :

      $v_{n}=v_{0}\times \left( – \dfrac{1}{3}\right)^{n}=\dfrac{1}{3}\times \left( – \dfrac{1}{3}\right)^{n}$

      (Remarque : le résultat peut aussi s’écrire $- \left( – \dfrac{1}{3}\right)^{n+1}$)

    1. Pour tout entier $n$, $\left( – \dfrac{1}{3}\right)^{n} \leqslant 1$ donc $v_{n} \leqslant \dfrac{1}{3}$ et par conséquent $v_{n}\neq 1$

    2. $v_{n}=\dfrac{u_{n} – 1}{u_{n}+1}$ équivaut à :

      $v_{n}\left(u_{n}+1\right)=u_{n} – 1$

      $v_{n}u_{n}+v_{n}=u_{n} – 1$

      $v_{n}u_{n} – u_{n}= – v_{n} – 1$

      $- v_{n}u_{n}+u_{n}=v_{n}+1$

      $u_{n}\left(1 – v_{n}\right)=v_{n}+1$

      $u_{n}=\dfrac{1+v_{n}}{1 – v_{n}}$ car pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_{n}\neq 1$

    3. $v_{n}$ est une suite géométrique dont la raison est strictement inférieure à $1$ en valeur absolue.

      La suite $\left(v_{n}\right)$ converge donc vers $0$ (voir limite d’une suite géométrique).

      D’après la formule $u_{n}=\dfrac{1+v_{n}}{1 – v_{n}}$ et les règles de calcul sur les limites, la suite $\left(u_{n}\right)$ converge donc vers $1$.

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